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000
0.264 基本事項
e
S
XOXsine
1
FINA
基本例
163 図形の分割と面積 (1)
次のような四角形ABCD の面積Sを求めよ。
平行四辺形ABCD で, 対角線の交点を0とすると
AC=10, BD=6√2, ∠AOD = 135°
00000
AD/BCの台形ABCD で, AB = 5, BC = 8, BD = 7, ∠A=120°
指針
解答
/P.265 基本事項 基本 162
四角形の面積を求める問題は, 対角線で2つの三角形に分割して考える。
(1) 平行四辺形は, 対角線で合同な2つの三角形に分割されるから S=2△ABD
また, BO=DO から
AABD=2A0AD よって、 まず △OAD の面積を求める。
(2) 台形の面積)=(上底+下底)×(高さ)÷2 が使えるように,上底 AD の長さと高
さを求める。 まず, △ABD (2辺と1角が既知) において余弦定理を適用。
CHART 四角形の問題 対角線で2つの三角形に分割
(1) 平行四辺形の対角線は,互いに他を2等分するから
=1/2AC=5,
OA=
OD=BD=3√2
AOAD
=
2
JA A
EL
D
135°
0
√2
15
267
| (*) △OAB と △OAD は,
それぞれの底辺を OB,
OD とみると, OB=OD で,
高さが同じであるから,そ
の面積も等しい。
C 参考 下の図の平行四辺形
の面積Sは
-AC・BD sin 0
S=1/2A1
B
1/13 OA・OD sin 135 1/12・5・3/21/12=12
5.3√2.
(*)
S=2AABD=2.2A0AD =4• -=30
(2)△ABD において,余弦定理によりA
2
A
ADS-
練習 163 (2) 参照]
D
4
4章
1 三角形の面積、空間図形への応用
ゆえに
を求めても
よって
内角であ
A <180°
nA<l
D
72=52+AD2-2・5・AD cos 120°
5
ゆえに
AD2+5AD-24=0
120°
7
よって
(AD-3)(AD+8)=0+4
B
C
BH
C
AD> 0 であるから AD=3
8
-, a,b,c
ど,
薫が比較
頂点Aから辺BC に垂線 AH を引くと
AH=ABsin∠ABH,
∠ABH=180°-∠BAD=60°
<AD / BC
利用する
Jih 1200
よって
S=(AD+BC)AH 18
(上底+下底)×(高さ) ÷ 2
=(3+8)-5 sin 60°=
55√3
CA
18
162
練習 次のような四角形ABCD の面積Sを求めよ (O は ACとBDの交点)。
② 163 (1) 平行四辺形ABCD で, AB=5, BC=6, AC=7
(2)平行四辺形ABCD で, AC=p, BD=g, ∠AOB=0円
(3)AD // BCの台形ABCD で, BC = 9,CD=8, CA=4√7, ∠D=120°
Sare
