a1=4, an+1 =
4an -9
an-2
(n = 1, 2, 3, ...) で, 定義される数列について
(1) an ≠3 を示せ。
(2) an-3=bn とおいて, 一般項 αn を求めよ。
とおいて,一般項
( 鹿児島大)
思考プロセス
目標の言い換え
an≠3を示せ
《ReAction 「〜ない」の証明は、 背理法を利用せよ
すべての自然数nでanは3ではないことを示せ
例題54)
an
ある自然数nで3が成り立つと仮定して, 矛盾を導く。
/ 条件
3 から, an+1, an+2, An+3, ···を考えても矛盾は導けない。
の利用法
an =3 から, an-1, an-2, An-3, ...を考えると, α = 4 にたどり着く。
Action》 漸化式 An+1=
ran+s
pan+α
rbn
は, bn=an-α とおいて bn+1 =
とせよ
pbn+t
解 (1) ある自然数n (n≧2) について an=3 と仮定すると
4an-1-9
an=3であると仮定し
て矛盾を示す(背理法)。
3 =
An-1-2
整理して, 3(an-1-2)=4an-1-9 より
an-1=
同様に, an-1 = 3 であれば
an-2 =3
よって
an
= an-1 = an-2 =..
これは, α1 = 4 に矛盾するから
= α = 3
an ≠3
an=3ならば an-1 = 3
であるから, a1=3の
=3となり
