（3）が分かりません。 どういう発想でtをこのように置いたのか。 t→＋0はどうして？

148 第5章 微分法 基礎問 81 微分法の不等式への応用 > (1)x>0 のとき,f/12+x+1 が成りたつことを示せ. (2)lim=0を示せ. (3) limrlogz=0 を示せ. +0 y=er 上の点(0, 1) における接線を 求めると, y=x+1 になります。 こ のとき,右図より y=e² が y=x+1 149 y=ez y=x+1 より上側にあります. だから, x>0では x+1,すなわち, f'(x)>0であることが わかります. -1 10 T (2)>0のとき,(1)より > 付して. r2+x+1> 2 2 IC 精講 (1) 微分法の不等式への応用はⅡB ベク 97 みです. 考え方自体は何ら変わりはありません。 ⅡB ベク 98 で学習済 ∞ lim 20 だから、はさみうちの原理より I lim=0 (2)は78に,(3)は演習問題 79 にでています。 注 解答では,x+1を切り捨てていますが, そのままだと次のように 大学入試で,これらが必要になるときは, Ⅰ. 直接与えてある (78) II. 間接的に与えてある (演習問題 79) Ⅲ. 証明ができるように、使う場面以前に材料が与えてある (81 のいずれかの形態になっているのがフツウですが, たまに, そうでない出題も あります。 だから,この結果は知っておくにこしたことはありません。もちろん, 証明 の手順もそうです.(1) や (2)で不等式の証明 (3)で極限という流れは44,45で 学んだはさみうちの原理です. (1) f(x)=- 解答 +x+1) とおく. 導関数単調なら 元も単調 プラス f(x)は常にチン なります。 0< 2x 2 x2+2x+2 より 2 x+2+ I (3)(2)において,r=log- og / とおくと,t+0 のとき,x→∞ *†, e² = elog = 1, x=-logt だから, lim(-tlogt)=limax=0 t→+0 また, lim (-tlogt)=-lim (tlogt) 1 t+0 t+0 limtlogt0 すなわち, limxlogx = 0 t→ +0 x+0 f'(x)=e-(x+1), f"(x)=e²-1 のちて分からない >0 のとき,> が成りたち, f(x)>0 接線傾きつまり f(x)の上昇、下降 したがって、f'(x)はx>0 において単調増加。 を表す! ここで,f'(0)=0 だから, x>0 のとき,f'(x)>0 よって, f(x)はx>0において単調増加. ここで,f(0) =0 だから,x>0 のとき, f (x)>0 ゆえに、x>0のとき、12++1 ポイント IC lim =0 lim log x 8 et →∞ I 演習問題 81 =0 lim xlogx=0 x+0 (1)x>0 10g を示せ. (2) lim log x I -= 0 を示せ. 第5章

(イ)を2枚目のように、「2」を入れ忘れて、３項間漸化式で特性方程式が重解を持つ場合として、等比数列の形にして解きました。 このミスを正そうとして2を加えようと思いましたが、どこに加えればいいか分かりませんでした。そもそもこの考え方が違うのでしょうか。

漸化式典型的なタイプに帰着 -+1によって定義される数列{a} を考える. ここでbn= (ア)条件 α=2, an+1= an-l 3+an とおくとき,bn+1 を by を用いて表せ.また,{a} の一般項を求めよ. an-1 (東京経済大) (イ) 数列{a} を a=1, a2=2, a,+2-24n+1+an=2(n=1,2,3, …)によって定める. bn=an+1-an とおくとき, by をnの式で表せ。 また, annの式で表せ。 (工学院大 ) an+1=pan+α 型 an+1=pan+g(p, q は定数で, 0, 1) ...... ① に対して,a=pa+g...... ② を満たすように定数αを定め、 ①②よりan+1-α=p(an-α) これより{a-α}が公比』の等比数 列であることを用いて解く. n-1 an+1-an=f(n) 型 階差が分かっている数列の一般項は, 階差を足し上げて求める. n≧2のとき an=a1+(az-a)+(as-a2)+..+(an-an-1)=f(1)+(2)+f(n-1)=a+f(k) 上式はn≧2のとき通用する式で, n=1のとき成り立つか否かは確認が必要. 問題によっては, an-an-1=g(n)が分かっている場合もあり、 公式を丸暗記して適用するとミスしやすい. 上式のシグ マ記号の上下の数 (初めと終わり) は, そのつど具体的に確認しよう. 解答 + an-l (ア) an+1= 1 +1 ① 3+an bn= an-1 ( (1日)=1+( 1 bn+1= == an+1-1 1 an-1 3+an (an-1)+4 -=1+ an-1 an-1 4 an-1 =46+1 分数式は分子を低次に. 3+an :.bn+1=46+1 ... ......③ 1 :.bn+1+ =4b₂+ <>a=4a+1 1 ②より, a1=2のとき, b1=1. を満たすαは 3 {{+*} は公比4の等比数列であり,bn+1/2=4"-1 (01+1/2) An ③④より求める. b1+- 3 4"-1 bn= = ②より, an 3 1 bn +1= 3 4"-1 3 4"+2 3 +1= >± 9. an-1=1 4"-1 (イ) an+2-2an+1+an=(an+2-an+1)-(an+1-an)=bn+1-b" が2なので, bnti bn+1-bn=2. また, b1=42-41=1 Pn よって,{bm}は初項 1, 公差2の等差数列で, b=1+2(n-1)=2n-1 2のとき、作品もん an=a1+(az-a)+(a3a2)+…+ ( an-an-1) =a+b1+b2+... +bn-1 =a+ b1+bn-1. 2 1+{2(n-1)-1} (n-1)=1+ 2 よって、求める式は,,=1+(n-1)²=n-2n+2 (n=1,2,3, ...) (n-1) (n=1でもOK) {6} は等差数列. その和は, (項数) (初項) + (末項) 2

Aがアなのはなぜですか？

問2 次の日本の貿易品目の変化の図をみて、図中のA〜Eにあてはまる貿易品目を,下のア~カのうち からそれぞれ一つずつ選べ。 (1×55点) 機械類 3.1% C6.2% A 4.5 一鉄くず 3.1 1934~36年 B 57.6 1934~36年 D 39.8 平均 その他 39.3 24.5億円 (生糸) (綿織物) その他 36.7 平均 14.5 20.0 251億円 (花) 30.5 A 2.6 機械類 3.0 ・肥料 4.1 (羊毛) 7.7 機械類 7.0- 鉄くず 5.1 輸 1960年 |輸 B 30.2% 1960年 C その他 52.1 1兆4596億円 その他 36.6 12.29.6 出 1兆6168億円 17.6% 13.4 船舶 7.1 魚介類 4.3 一鉄鉱石 4.8 Eの部品 4.3 A 3.8 液化ガス 5.4 医薬品 4.7 2020年 2020年 「機械類」 C その他 50.1 機械類 38.0% その他 36.4 684005億円 14.0 67兆8371億円 27.1.% 8.7 衣類 4.0 6 貿易 Lプラスチック 3.5 ※機械類は一般機械と電気機械の合計で輸送用機械を含まない。 (公益財団法人 矢野恒太記念会 「日本国勢図会 2021/22年版』 『数字でみる日本の100年」 ほかより作成) ア 鉄鋼 イ 石炭 ウ 自動車 エ 石油 オ 繊維製品 カ繊維原料 A(ア) B(オ) C(エ) D(カ) E (ウ) 自由香明ト

清やオスマン帝国が、イギリスで産業革命が進むにつれて近代世界システムに組み込まれ始めたのはなぜですか？

この問題を和訳してください。 reallyがこの文でどのような役割を果たしているかも知りたいです。

2) A big car is really less economical than a small car. 11

確率の最大値を求める時。なぜ二次関数の最大最小問題で解けないのですか。

6 10 確率の最大値- 赤,青,黄3組のカードがある。 各組は10枚ずつで, それぞれ1から10までの番号がひとつず つ書かれている.この30枚のカードの中からk枚 (4≦k≦10) を取り出すとき 2枚だけが同じ番 号で残りの (k-2) 枚はすべて異なる番号が書かれている確率を(k) とする。 (1) p(k+1) p(k) (4≦k≦9) を求めよ. (2) pk) (4≦k≦10) が最大となるkを求めよ. 4958 (福岡教大/一部省略) 確率の最大値は隣どうしを比較 確率p (k) の中で最大の値 (または最大値を与えるk)を求める 問題では,隣どうし [p(k) と(k+1)] を比較して増加する [p(k)≦p(k+1)] ようなkの範囲を求 める. p(k) と p(k+1)の大小を比較すればよいのであるが, p(k)と(k+1)は似た形をしているの (k+1) p(k+1) p(k) p(k) を計算すると約分されて式が簡単になることが多い. である. 解答 さがう (BOA)5 (1) 30枚からk枚 (4≦k≦10) を取り出す取り出し方は 30C 通りあり、これ らは同様に確からしい。このうちで題意を満たすものは、 同じ番号の2枚につい て番号の選び方が10通りで番号を決めると色の選び方が3C2通り異なる番号 (2)枚について番号の選び方がC-2 通りでそれを1つ決めると色の選び 1-0 方が3-2通りある. よって, p(k)=- p(k+1) 9C-134-1 -≥1p(k)p(k+1) R BE 左(410) 目 ex 10 C₁ x 9 パターン 101010 10-3-9Ck-2-3-2 30Ck 30Ck .. p(k) = 30Ck+1 9Ck-2-3-2 10-3を約分 およん (k+1) (29-k)! 30! 9! (k-2)! (11-k)!, 1 1 --3 順に, 30! k! (30-k)! (k-1)! (10-k)! 9! 3(k+1) (11-) 30 Ca+1" 9C-2 最後の3は3-13-2 を約分. 30 CA. 9C-1 (k-1) (30-k) (2) p(k) sp(k+1)=- p(k+1) p(k) 3(k+1)(11-k) ≥1↔ ≥1 (k-1) (30-k) >p (k)>0. p(k+1)>0 ① 3(k+1) (11-k)≥(k-1) (30-k) k (2k+1)≤63 5·(2・5+1)<63<6·(2･6+1) であるから, ①を満たすkはk=4,5で①の等 kは4~9の整数 号は成立しない よって p(4)<p(5)<p(6), p(6)>p(7)>p(8)>p(9)>p(10) となり,p (k) が最大となるkは 6. 20円迄

赤線で引いたところは、『1回目には金額x万円払ったが19年後にはそのx万円が実際よりも多く返されていることになる』という解釈で正しいでしょうか？

等比数列を用いて, 日常に行われている積立金や借り入れ金の計算をすることがで その後毎年同額ずつ支払い, 20年後に返済を完了する。 1年ごとの複利法で計算す きます。 例えば, 年利率5%で1000万円を借り、 1年後より第1回目の返済を始め、 るとき, 毎年支払う金額を求めてみよう。 まず, 1000万円を20年間借りたままだったときの元利合計 はいくらになりますか。 1.0520 = 2.65 として計算してくださ い。 元利合計をS とすると です。 S₁ = 1000 x 1.0520 2650 (万円) そうです。 では次に、毎年支払う金額をx万円として,それを年 利率 5%で毎年積み立てると, 20回目を積み立てたときに合計金 額がいくらになるか求めてみてください。 合計金額を S とすると, 1回目に支払った金額は19年間積み立 てたことになり、2回目のものは, 18年間積み立てたことになる から、以下同様に考えると, 等比数列の和の公式を利用して S₂ = x x 1.0519+ x x 1.0518+...+xx 1.05+x x (1.0520-1) 1.05-1 となります。 xx 1.65 =33x(万円) 0.05 よくできました。 それでは, 20年間で返済が完了するとき xの値を求めてみましょう。 S1 = S2 となればよいので, 2650=33x より x = 80.3030・・・ よって、 毎年約 80.3万円支払うと, 20年で返済できることになります。 毎年約80.3万円支払うから、20年間で約1606万円支払うことに なります。 約606万円が利息になるわけです。 お金を借りるときは,このようなことをしっかりと考えて、判断 しないといけませんね。

基礎問題精講　2b 99 ポイントにある公式は使う場面ありますか？展開した方が早いと思うのですが…使うタイミングがあるのなら教えて欲しいです。

156 問 99 不定積分(I) 次の不定積分を求めよ. 80 0< √(2x+1)³dx (1) f(x²+2x+3)dx (2) f(x-1)'dr (3) f(2x+1)'dz 不定積分の公式は, 精講 fxdx=1+C(C: 積分定数) 2 作る ですが,(2),(3)の型にそなえて, ポイントにある公式も覚えておきましょう. 解答 1 (1) f(x+2x+3)dz='+x+3r+C x³-x²+x+C=10 (2) f(x-1)³dz-f(r³-2x+1)dr-r-x+x+C = (3) f (2x+1)-f(ax +4x+1)dz/1/2x'+2x'+x+C (別解)(ポイントの公式を使うと··) (2) f(x-1)/³dz=(x-1)+C 3 = 3 (Cはいずれも積分定数) (3) f(2x+1)dr=1/11/3(2x+1)+C=1/08(2x+1)+C 6 (エ)の特 ポイント xn+1 x"dx = x²+1+C, √(ax+b)"dx = (ax+b)+1 a(n+1)+C

（２）の 問題が分からなくて、丸をつけたところ何ですけど、それが何を表しているか分かりません。 誰か問題全体を通して解説してくださると嬉しいです。 よろしくお願いいたします。

UKANMURI ターン 67 (A)= = 原因の確率 P(ACE)に当てはめてよ!!! P(E) かったとき, それが原因から起こったと考えられる確率(条件付) PE(A 事象E が起こる原因として,AとBの2つがあり、事象が起こったことがわ を原因の確率といいます。 原因の確率の計算では,《例■(1)のように直感的にとらえることができな いので, 144ページの公式 PE (A)= P(A∩E) PE) を使って計算します。 例題67>>>> (1) 事象ABについて, P(A)=1/3,P(B)=1/13,P(B)=1/01 のとき, (2) 次の確率を求めよ。 (i) P(B) 5 (ii) P(A∩B) (iii) PB (A) (iv) PE (A) Xの箱には白球が3個,黒球が7個,Yの箱には白球が8個,黒球が 2個入っている。サイコロを投げて, 2以下の目ならXの箱から,3以 上の目ならYの箱から1球取り出す。取り出した球が白球であった とき,それがXの箱の白球である確率を求めよ。 ポイント ■1) 乗法定理を使う練習です。 機械的に使えるようにしてください。 2) 取り出した球が白球であるという事象をEとするとき,Eの原因が箱Xで ある確率を求める問題です。 余事象の確率 解答 1 2 (i) P(B)=1-P(B)=1- 3 3 法定理 4 (ii) P(A∩B)=P(A)P(B) 1 5 10 50 (i) P(A)= _P(A∩B) 50 P(B) 23 100 パターン編

次の問題で(1)も期間は9年なのですか？解説お願いします🙇‍♂️

267 ある年の年初めに100万円を1年ごとの複利, 年利率5%で借りた。 ★★ 1.051 1.63 として = (1) 10年目の年末に一括して返済するとき, 支払う金額を求めよ。 (2)毎年年末に同額ずつ支払い, 10年間で返済を完了するとき, 毎年支払う金額 を求めよ。 ただし, 100円未満は切り上げて答えよ。