6|| 整数の性質(20 点)
整数x,yが、等式 6x-7y=2…① を満たしている。
(1) 115 と 138 の最大公約数を求めよ。また,等式のを満たす1桁の正の整数x,yの組を1
組求めよ。
(2) 等式のを満たす整数x,yの組をすべて求めよ。また、x,yがともに3桁の正の整数と
なるようなx, yの組は全部で何組あるか求めよ。
(3) 等式のと等式 115y-1382=46 をともに満たす整数x,,zの組について、M=x+y+z
とする。Mのうち,5進法で表したときに5桁の数となるものの中で,最大の数を M'と
する。M'を 10進法で表せ。
配点
(1) 6点(2)7点(3) 7点
解答
115と 138を素因数分解すると
115=5-23
4最大公約数は,素因数分解をして
求めるとよい。
138=2-3-23
よって、115 と 138 の最大公約数は 23
また,6-5-7-4=2 より,6x-7y=2 を満たす1桁の正の整数x,yの組は
4x, yに具体的に1桁の正の整数
をあてはめて求める。
x=5, y=4
圏 最大公約数23, x=5, y=4
完答への
道のり
115 と 138 をそれぞれ素因数分解することができた。
O 115 と 138 の最大公約数を求めることができた。
O等式のを満たす正の整数x,yの組を1組求めることができた。
6x-7y=2
の
6-5-7-4=2
の
の-のより 6(x-5)-7(y-4) = 0
6(x-5) = 7(y-4)
6と7は互いに素であるから,kを整数として
x-5=7k, y-4= 6k
と表される。
すなわち x=7e+5, y= 6k+4 (kは整数)
また,x,yがともに3桁の正の整数となる条件は
[100 S7k+5<く 1000
1100 S 6k+4<く 1000
のより 95 S7k<995
46×(xの式)=7×(yの式)をつく
る。
(100S7k+55 999
|100 S 6k+4S 999
としてもよい。
13+sA<142+
のより 96 S6k < 996
16S&<166
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