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考察
研究 漸化式の活用
漸化式を活用して,次の図形の問題について考えてみよう。
例題
1
解答
平面上にn本の直線があり、どの2本も平行でなく,また,どの
3本も1点で交わらないとする。 これらn本の直線が、平面を
α 個の部分に分けるとき, am をnの式で表せ。
1本の直線で, 平面は2つの部分に分けられるから a=2
DHC
n本の直線により, 平面が an 個の
|n=3のとき
第三
部分に分けられているとき
(n+1) 本目の直線lを引く。
TA
l n本の直線とn個の点で交わり,
Tr+25}
(n-1) 個の線分と2個の半直線にして
分けられる。
OD
これらの線分と半直線は, それが含まれる各平面の部分を2つに
分けるから,直線lを引くことで平面の部分が (n+1) 個増える。
an+1=an+(n+1) すなわち an+1-an=n+1
数列{an}の階差数列の一般項がn+1であるから.n≧2のとき
an=a+1/(k+1)=2+1/12(n-1)n+(n-1)
よって
an
= 1/2 (n²+n+2)
よって
初項は α=2 なので,この式はn=1のときにも成り立つ。
1
an - (n²+n+2)
したがって 求める式は
2
2 3
【?】 直線l を引くことで平面の部分が (n+1) 個増加する。
n=3のときの図を使って説明してみよう。
・
この理由を,
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