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基本例題 258 絶対値を含む関数の定積分
(1) Slx-2/dx を求めよ。
解答
指針 絶対値記号がついたままでは積分できない。 そこで,まず, 絶対値記号をはずす。
141= {¯)
-A (A≦) ← 定積分の計算では,等号を
A(A≧0)
両方の場合に付ける。
11をはずしたら、定積分の性質 S f(x)dx = S. f(x)dx+S" f(x)dx (積分区間の
割)を利用して計算する。 つまり, | |内の式の正負の境目で積分区間を分割する。
絶対値 場合に分ける |A|=
(1) x-2=0とすると x=2
区間を1≦x≦2と2≦x≦4に分割。
(2) x2+x−2=0 とすると, (x+2)(x-1)=0からx=-2,1 → 積分区間
0≦x≦2 に x=1 が含まれるから,区間を 0≦x≦1と1≦x≦2に分割して計算する。
(1) 1≦x≦2のとき |x-2|=-(x-2)
2≦x≦4のとき |x-2|=x-2
(2) S²√x²+x−2\dx ***I.
Slx-2|dx={(x-2)}dx+S2(x-2)dxc.) (1)
=
または (x3)
|x2+x-2|=|(x+2)(x-1)|=2+
2
scat (2)
=- [²2/2² - 2x]²+ [ ²2 2² - 2x ] ₁
=
1トｰナ
=-{(2-4)-(1/23-2)+(8−8)-(2-4)
01 12 4 I
図の2つの赤い三角形の面
積の和として求めると
--[2³² +
であるから
(2)
0≦x≦1のとき |x2+x-2|=-(x2+x−2)
1≦x≦2のとき |x2+x-2|=x2+x-2 であるから
Slx+x-2|dx={(x+x−2)}dx+∫(x+x-2)dx
==
- 2x] + [²/537
0
8
=(1/3+1/12-2)×2+(10/+2-4
x3x2
/p.384 基本事項 重要 259
2
+
22²2 - 2x]²₁
(*)
= 3
(*)
* F(x)=1512xとすると, F(0)=0 で, 定積分は
+
3
-[F(x)]+[F(x)]=-2F(1)+F(0)+F(2) となる。
問題の定積分は,それぞ
れ図の赤く塗った部分の
面積を表す。
YA 1 1/2+2=1/5/20
(2)
4
(与式)=1/12・1・1+1/02
·1·1+2·2
5
0 1 2
-2
_=-{F(1)-F(0))
+{F(2)-F(1))
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