例題 49 30人の生徒に数学と英語の試験を行い, 数学の得点xと英語の得点」
のデータを取ったところ, x と yの共分散は217, 相関係数は0.78 で
あった。得点調整のため, z=2x+10, w=3y-20 として新たな2つ
の変量 z, w を作るとき, zとwの共分散, 相関係数を求めよ。
指針 定義にしたがって考える。 共分散得点調整前後の偏差の関係を求める。
相関係数 得点調整前後の標準偏差の関係を求める。
[解答 変量xのデータを X1,X2, ......, X30 とし, データの平均値をxとする。
y,z, wのデータについても同様に定め, 平均値をそれぞれy,z, w とすると
z=2x+10, w=3y-20
よって, zの偏差は
Zk-z=(2x+10)-(2x+10)=2(xk-x)
wの偏差は wk-w=(3y-20)-(3y-20)=3yk-y)
よって,xとyの共分散を Sxy, zとwの共分散をSzwとすると2
1
Szw {(z1-2)(w₁-w)+(22-2) (w₂-w) ++(230-2)(w30-w)}
=
30
1
30
{(xx).3(y-y)+2(x2-x) (y-y)+.+2(330-xx) ・3(30-y)}
/1
が
=6• ((x₁-x)(y₁-y)+(x2-x) (y2-y) ++(x30-x) (y30-y)}
30
=6・Sxv=6・217=1302 答
また, x, y, z, w の標準偏差をそれぞれ Sx, Sy, Sz, Sw とすると
Sz=|2|Sx=2Sx, Sw=|3|sy=3sy
Szw
6Sxy
Sxy
よって, zとw の相関係数は
=
=
= 0.78 答
SzSw 2sx3sy SxSy
参考 a,b,c,d を定数とし、 2つの変量 x, yからz=ax+b, w=cy+d によって新しい
変量 z, wが得られたとする。 このとき, zとwの相関係数 rzw と, xとyの相関係数
rxy について、次が成り立つ。
ac0 のとき rzw=rxy,
ac< 0 のとき zw
