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92項間漸化式/an+1=pan+f(n)-
次の式で定められる数列の一般項 αを求めよ.
(1) 1=1, m+1=20n+n (n=1, 2, 3, ...)
(2) a1=4, n+1=40-2n+1 (n=1, 2, 3, ...)
(弘前大・理工-後)
(信州大工)
2項間漸化式の解き方 an+1=pan+f(n) (p=0.1f(n)はnの式)……型の漸化式を解く
には,変形してan+1+g(n+1)=p{an+g(n)}となるようなg(n)を見つけて,{an+g(n)}が等比
数列になることを用いればよい.
(i) f(n)がnの多項式の場合,g(n)もf(n) と次数が等しいnの多項式である。g(n)の係数を
未知数とおいて, ☆より係数を求めればよい。 特にf (n) が定数の場合は前頁で扱った。
(i) f(n)=Aq"(g=p, A は定数) の場合, g(n)=Bq"として,☆が成り立つように定数Bを定め
an+1
an
A
ればよい.また, an+1= pan+Ag" の両辺を "+1で割って
+
pn+1
pn p
4(1). ここで.
an
,=
bn とおいて, bm+1=bn+
A
n
9 として階差型の解き方 (前頁) に持ち込む手でもよい。
解答圜
p"
(1) an+1+A(n+1)+B=2(an+An+B) を満たす A, B を求める.
an+1=2an+An+B-A と条件式を比べて, A=1,BA=0 ...
B=1
an+1+(n+1)+1=2(a+n+1) より, {an+n+1}は公比2の等比数列 .
..
an=3.2"-1-n-1
よって, an+n+1=2"-1 ( 41+1+1)=3・2n-1
(2) +1=4a-2n+1 を 4n+1で割って,
An+1
an
1\n+1
4n+1 4m
2
an
a1
1\n+1
bm-
==
4"
とおくと, b1=2=1, bn+1=bn- 2
となるので,n≧ 2 のとき,
1\n-1
1-
1k+1
=1-
k=1
k=1
左辺は A (n+1) になることに注
意.
【 (2) の別アプローチ】
f (n) が Aq” の形の場合は、
を qn+1で割ると,典型的な2項
間漸化式に帰着されることに着
目. 漸化式を2+1で割って
n-1
bn=b₁+ (b+1-br)=1—',
=1/1/11(1/1)-1/2+(1/2)(n=1のときもこれでよい)
よって、
2=4m
{/12+(1/2)"}-2-4-1+2"
【別解】 (2) 4n+1+A.2n+1=4(an+A2") を満たす A を求める.
an+1=4a+4A2"-A2"+1=4an+A2"+1 と条件式を比べて, A=-1.
an+1-2n+1=4(an-2")より, {an-2"}は公比4の等比数列.
よって, an-2"=4"-1(α1-21)=2.4-1 ..an=2.4"-1+2"
9 演習題(解答は p.75)
次の式で定められる数列の一般項 n を求めよ.
(1) 41=2,n+1=3an+2n2-2n-1 (n≧1)
(2) a1=1,4n+1-2an=n.2n+1 (n≧1)
(3) α1=1,n+1=2
1
ant
an+1
an
=2-
1
2"+1
2"
an
Cn= とおくと, C+1=2c-L
2"
これから解く.
(岐阜大)
(日本獣医畜産大)
(1), (3)
an+1+f(n+1)
=k(antf(")) となる
f(n) を探す
(2)階差に持ち込む
n-1
(n≧1)
n(n+1)
(岐阜大 教後)
