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基本 例題 1 倍数の個数
PAGE ELT
100 から 200 までの整数のうち,次の整数の個数を求めよ。
(1)5の倍数かつ8の倍数
(2)5の倍数または8の倍数
AUTOEL
(3)5で割り切れるが8で割り切れない整数
(4)5と8の少なくとも一方で割り切れない整数
指針
解答
→n (A∩B) のタイプ。
(1)5の倍数かつ8の倍数
5と8の公倍数であるから, 最小公倍数 40の倍数の個数を求める。
(2)5の倍数または8の倍数→n (AUB) のタイプ。 個数定理の利用。
(3) (A∩B)=n(A)-n (A∩B) のタイプ。 「で割り切れる」=「●の倍数」
KOCHE
(4)5と8の少なくとも一方で割り切れない数→n (AUB) のタイプ。
ド・モルガンの法則 ĀUB=A∩B が使える。 n(A∩B) は (1) で計算済み。
注意 (4) は (2) の補集合ではない。 (2) の AUBの補集合は AUB ANE である。
100 から 200 までの整数全体の集合をひとし, そのうち
5の倍数,8の倍数全体の集合をそれぞれA, B とすると
A={5･20,5･21, '……… 540}
合
B={8・13, 8•14, ......, 8.25}
ゆえに
n(A)=40-20+1=21,
n(B)=25-13+1=13. またはBはAを
(1)5の倍数かつ8の倍数すなわち40の倍数全体の集合
はANBであり
A∩B={403, 40･4,40･5}
OND
よって
n(A∩B)=3
(2)5の倍数または8の倍数全体の集合は AUBであるか
5
n(AUB)=n(A)+n(B)-n(ANB)
=21+13-3=31
(3)5で割り切れるが8で割り切れない (3)
整数全体の集合は ANB であるから
n(ANB)=n(A)-n(ANB)
=21-3=18
(4) 58の少なくとも一方で割り切れ (4)
ない整数全体の集合は AUB である
から
n (AUB) =n(ANB)
AUTO=n(U)-n(ANB)
/P.333 基本項目
・U
A
=(200-100+1)-3=98
A) 35
ANBL
A∩B
0000
A)-(8)n+AUA)R
●個数定理
FLOOR CLOC
B
B
@
AUB
U, A,Bはどんな集合
であるかを記す。
は積を表す記号である。
100=8•12+4
SA
含むという。
5と8の最小公倍数は 40
100=40・2+20
AND は A から ANB
を除いた部分。
-(U)n =(A).
HORA
ド・モルガンの法則
AUB=ANB
2)+(8)x+(A)=(308UA
(Als
