Y4
図形と方程式 (50点)
0 を原点とする座標平面上において, 点 (0, 1) を中心とし, 半径が2である円をCと
する。円Cとx軸の交点を A,Bとする。ただし,点Aのx座標は点のx座標より小
さいものとする。また、点Pは円Cの y>0の部分を動くものとする。
(1) 点 A, B の座標をそれぞれ求めよ。
(2) AP2+BP2の最大値と、そのときの点Pの座標を求めよ。
(3) OP2 + BP2の最大値と、そのときの点Pの座標を求めよ。
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配点 (1) 12点 (2) 18点 (3) 20点
解答
(1)
円Cの方程式は
x2+(x-1)2=4
①において, y = 0 とおくと
x2=3
x=±√√3
・①
中心の座標 (a, b), 半径ra
方程式は
(x-a)+(y-b)'=r
点Aのx座標は点Bのx座標より小さいから, 求める点 A, B の座標は
A(-√√3,0),B(√30)
ASAP
(2)
-(0574
解法の糸口
A(-√3, 0), B(√3, 0)
で
まず,点Pの座標を (X, Y) とおいて, AP2+BP2 を X,Yの式で表す。 この式は、点Pが円C上にあること
から,Yのみの式にすることができるが、このときYのとり得る値の範囲に注意する。別解のように三角関数を
いたり,中線定理を用いたりして考えることもできる。
点Pの座標を (X, Y) とすると,点Pは円C上のy座標が正である点で
あるから
