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第6章 場合の数
301 Step Up
お互いに身長の異なる8人を, 山の形に整列させる. i番目に並ぶ人の身長をん とし 一
番高い人をん (2≦k≦7) 番目に配置することにすると,これを数式で表記すれば、
h₁<h₂<<hr hr>...> he
である. このとき, 以下の問いに答えよ. ただし, "Co+m+,C2+....+,C=2" が成
り立つことを用いてもよい。
(1) k=3 となる並べ方は何通りあるか答えよ.
(2) 2≦k≦7 に対して, 並べ方は全部で何通りあるか答えよ.
(3)n(n≧3)人を同様に整列させるとき, 2≦k≦n-1 に対して, 並べ方は全部で何通り
あるか答えよ.
8人を身長の低い順に, 1, 2, 3, ..., 7, ⑧とする.
(1) k=3 というのは、3番目に⑧がきていて,
となる場合である.
をみると
左の2つの△△は、7人から2人を選び,身長の低い
順に並べて、右の5つの□□□□□は、残りの5人を身
長の高い順に並べるので,
C2=21(通り)
(2) たとえば,k=2のときだと,
1AO
で、△は7人から1人を選び, 6つの□には身長の高い
順に並べるから、
C7(通り)
というようになっている.
したがって,まとめると, k=2,3,4,5,6,7 に対し
⑧の左の△のところに, 7人から1人、2人,3人,
4人,5人,6人を選び, 身長の低い順に並べることにな
あるので,
7C1+7C2+7C3+7C4+7C5+7C6
△△に入れる2人を選べば、
条件を満たす並べ方は1通り
に決まる。 太
章末問題
&&&
同人)
6
(表)の通り
ST(S)
={7C0+(7C1+7C2++7C6)+7C7}-(7C0+7C7)
3)=2'-2
KnCo+nCi+....+nCn=2" を
2乘出る利用。なお,この等式は、数
126 (通り) (高液る食
器
(3)人を身長の低い順に, ① ② ③, ...
(2)と同様に,たとえば, k=2のときだと
で,これは,
(n-2)人
k=3のときだと,
棚の持ち
とする
学で学習する二項定理を用
いて導くことができる。
(U) 0-0x2=1
(通り)
次の確率を求め、島
(n-1) 人から
を除く
歌中1人を選ぶ。
以
△△□□□
「目の出方は全部(n-3) 人
で,これは,
n-1
(通り)
したがって, 並べ方は全部で,
n-Ci+n-1C2+n-1C3 ++n-1Cn-2
=-Cot-Ci+n-Cotto - Cn-2) +--
2-1-2 (通り)
△△に⑦を除く (n-1) 人か
ら2人を選び, 身長の低い順
に並べる.
—(n-Cotn-Cn-i) | Yeti
のり
