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数学 高校生

この問題の、(ア)の、Nの意味がわかりません💦 あと、495というのはどこから出てきた数字でしょうか??

して証 通り 通り 重要 例題 6 n桁の数の決定と二項定理 (1)次の数の下位5桁を求めよ。 10110 100 (イ) 99100 (2) 2951 を900で割ったときの余りを求めよ。 [類 お茶の水大] 基本1 指針 (1)これらをまともに計算することは手計算ではほとんど不可能であり,また,それ を要求されてもいない。 そこで,次のように 二項定理を利用すると、必要とされ る下位5桁を求めることができる。 (ア) 101100 (1+100)100= (1+102)100 これを二項定理により展開し、各項に含ま れる 10" (nは自然数) に着目して、下位5桁に関係のある範囲を調べる。 (イ) 99100= (-1+100)100= (-1+102) 100 として (1) と同様に考える。 (2) (割られる数) = (割る数)×(商) + (余り) であるから, 2951900で割ったと きの商をM, 余りを とすると,等式 291 = 900M+r (M は整数,0≦x<900) が成 り立つ。2951(30-1)であるから,二項定理を利用して (30-1)を900M+r の形に変形すればよい。 (1) (7) 101100=(1+100) 100=(1+102) 100 =1+100C1×102+100C2×104 +10°×N ☆ax105+5ケかたち =1+10000+495×10°+10°×N ? (Nは自然数 == この計算結果の下位5桁は,第3項,第4項を除いて も変わらない。 1 章 1 3次式の展開と因数分解、二項定理 展開式の第4項以下をま とめて表した。 にした 10"×N (N, nは自然数, n≧5) の項は下位5桁の 計算では影響がない。 ある 解答 ■要素 考える。 よって, 下位5桁は 10001 (イ) 991=(-1+100)’=(-1+102)100 =1-100C×102+100C2×104+10°×M =1-10000+49500000 +10° × M =49490001+10°×M (Mは自然数) この計算結果の下位5桁は,第2項を除いても変わら ない。 よって、下位5桁は 90001 る。 (2) 2951 (30-1)51 =nC₁ = C2 L しれ ...... =3051-51C1×3050+・・・ -51C49×302+51C50×30-1 =302(3049-51C1×3048 +・・・・・・-51C49) +51×30-1 =900(3049-51C1×304+-51C49) +1529 =900(3049-51C1×3048 + - 51C49+1) +629 展開式の第4項以下をま とめた。 なお,99100は 100 桁を超える非常に大 きい自然数である。 900=302 (-1)"は rが奇数のとき が偶数のとき 1 1 1529=900+629 ここで,30%-51 C1×3048 +51C49 +1 は整数であるssp から 2951 を900で割った余りは 629 である。 。 も 練習 (1) 10115 の百万の位の数は「 である [南山大 ]

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数学 高校生

どうして②が実数解をもつことがtの範囲につながるんですか??

腰例題 122 2変数関数の最大・最小 (4) xyがx+y=2を満たすとき, 2x +yのとりうる値の最大値と最小値を一 よ。また、そのときのx, yの値を求めよ。 [類 南山大〕 基本101 条件式は文字を減らす方針でいきたいが、条件式x'+y=2から文 字を減らしても, 2x+yはx,yについての1次式であるからうま くいかない。 そこで,2x+y=tとおき, tのとりうる値の範囲を調べることで, 最大値と最小値を求める。 →2x+y=t を y=t-2x と変形し, x2+y2=2に代入して」を消 去するとx2+ (t-2x) =2となり, xの2次方程式になる。 xは実数であるから,この方程式が実数解をもつ条件を利用する。 実数解をもつ⇔D≧0 の利用。 CHART 最大・最小 = t とおいて,実数解をもつ条件利用 見方をか 八える 203 2x+y=t とおくと y=t-2x ① これをx2+y2=2に代入すると x2+(t-2x)2=2 整理すると 5x2 -4tx+t2-2=0 ...... このxについての2次方程式② が実数解をもつための 条件は、②の判別式をDとすると D≧0 D ここで =(-2t)2-5(2-2)=-(2-10) 4 参考 実数a, b, x, y に ついて,次の不等式が成り 立つ(コーシー・シュワル ツの不等式)。 (ax+by)(a+b²)(x²+y²) [等号成立は ay=bx] この不等式にα=2,6=1 を代入することで解くこと もできる。 D≧0 から t2-10≤0 これを解いて -√10 ≤t≤√10 ✓もの範囲! -4t_2t t=±√10 のとき,D=0で,②は重解x=- 2.5 を 5 のとき, ② は ±√10 もつ。=±√10 のとき 2/10 x=± 5 ①から √10 y=± (複号同順) 5 よって 210 10 x= y= のとき最大値 10 5 x=- 2/10 5 10 y=- のとき最小値10 5x2 +4√10x+8=0 よって (√5x=2√2) 20 ゆえに x=± 2√2 2√10 √√5 ・=土・ √10 ① から y=± 5 (複号同順) 5 5 としてもよい。

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