本例題5 コ項係数と等式の証明
k,Ck=nn-1Ck-1(n22, k=1, 2,
(1+x)"の展開式を利用して,次の等式を証明せよ。
)»Co+»Ci+ C2+………+,C,+…………+,Cn=2"
)Co-Ci+»C2-……+(-1)"C,+……+(-1)",Cn=0
n)が成り立つことを
Faneon
n!
(0 C,=
を利用して,k,Ck, nォ-1C&-1 をそれぞれ変形する。
(2)(ア)二項定理(b.11 基本事項4)において,a=1, b=xとおくと
(1+x)"=,Co+,Cix+,Cax°+……+,Crx"+………+,C.x"
等式のと,与式の左辺を比べることにより,①の両辺でx=1とおに
づく。同様にして,(イ), (ウ) では rに何を代入するか を考える。
答
n!
k,Ck=k
=n
イn!=n(n-1)!
に。
=-1Cォ-1=n
=n
(k-1)!{(n-1)-(k-1)}!
k,C=nn-1C&-1
二項定理により,次の等式①が成り立つ。
たがって
すべてのxの値に対し
(1+x)"=,Co+Cix+»C2x?+…+,Crx"+………+»Cnt"
) 等式①で,x=1とおくと
(1+1)”=,Co+»C.·1+»C2·1°+……+.C,·1"+… +»Cn*
Co+,Ci+»C2+ +,C;+ +C=2"
よって
)等式ので,x=-1 とおくと
(1-1)”=,Co+»C,·(-1)+»Ca·(-1)°+…………++C, (一1)"+…
»Co-,C.+,C2-…+(-1)",Cr+……+(-1)",Cn=0
よって
う) 等式0で,x=-2とおくと
(1-2)"=,Co+,C,·(-2)+»Ca·(-2)°+…+,C, (一2)"+……
よって
Co-2,C.+2°,C2-……+(-2)" C,+………+(-2)",Cn=(
R,C&=Do-1C&-1 (22; k=1, 2
かを素数とするとき, (1)から
この式はpC が必ずかで割り切れることを示している。
