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重要 例 148 三角方程式の解の存在条件
La の値の
eの方程式 sin'0+acos0-2a-1=0を満たすりがあるような定数。
囲を求めよ。
基本14
→ cosa=x とおくと, -1≦x≦1, 与式は
指針 まず, 1種類の三角関数で表す
(1-x2)+ax-2a-1=0 すなわち x2-ax+2a=0
よって、求める条件は, 2次方程式 ①が-1≦x≦1の範囲に少なくとも1つの解をも
つことと同じである。 次の CHART に従って, 考えてみよう。
2次方程式の解と数の大小 グラフ利用 D, 軸, f(k) に着目
cos0=xとおくと, -1≦xであり, 方程式は
(1-x2)+ax-2a-1=0 すなわち x-ax+2a=0... ①
この左辺をf(x) とすると, 求める条件は方程式f(x) = 0
が-1≦x≦1の範囲に少なくとも1つの解をもつことで
ある。
晶検討
x2ax+2a=0をにつ
いて整理すると
nia-S+0=0$ x²=a(x-2)
よって、放物線y=xと
直線 y=α(x-2)の共有
点のx座標が
-1≦x≦1の範囲にある
を考えてもよい。 解
これは,放物線y=f(x) とx軸の共有点について,次の
[1] または [2] または [3] が成り立つことと同じである。
[1] 放物線y=f(x) が -1<x<1の範囲で, x軸と異な
る2点で交わる,または接する。
このための条件は,①の判別式をDとするとD≧O
a(a-8)≥0
D=(-a)2-4・2a=a(a-8) であるから
答編 p.147 を参照。
[1])
YA
a
答
1)
(2
解答
よって a≦0,8≦a
......
②
軸x=1/3について -1</1/8 <1から -2<a<2… ③
0
10
-1
1 I
f(-1)=1+3a>0から
a>.
3
[2]
f(1)=1+α>0
から
a>-1
⑤
YA
②~⑤の共通範囲を求めて
<a≦o
[2] 放物線y=f(x) が-1<x<1の範囲で, x軸とただ
1点で交わり,他の1点はx<-1, 1 <xの範囲にある。
このための条件は
f(-1)f(1)<0
ゆえに (3a+1)(a+1) < 0
よって -1<a<
3
[3] 放物線y=f(x) がx軸と x = -1 またはx=1で交わ
る。
f(-1)=0 または f(1) = 0 から a=-
[1], [2], [3] を合わせて
-1≤a≤0
1/23 または α=-1
【参考[2] と [3] をまとめて,f(-1)f(1)≦0 としてもよい。
練習 0 の方程式 2cos20+2ksil
148
-1
0
F
A
1
-1
00
