3次方程式+x²-2x+3=0 の3つの解をα, B, yとする
とき, a+β+y, aβ + βy+ya, aβy の値を求め, a2+β2+y2の値
を求めよ.
3次方程式 ax'+bx+cx+d=0 の3つの解を α, β, y とおくと
精講
ax+bx+cx+d=a(x-a)(x-β)(x-y)
と表せます.この式の右辺を展開すると,
ax-a(a+β+y)x2+a(aB+By+ra)x-aaby
となり,左辺と係数を比較すると, ポイントの公式が導けます. これも
「解と係数の関係」といいます.
解答
解と係数の関係より,
a+β+y=-1, aβ+By+ya=-2, aβy=-3
このとき
(a+β+y)²=a2+B2+y2+2(aB+By+ya)
より
a2+B2+y2=(a+β+y)-2(aB+βy+ya)
=1-2×(-2)=5
ポイント
3次方程式 ax+bx+cx+d=0 の3つの解を
α, β, y とすると
a+β+y=
aby=
b
aß+By+ya=
a
a
d
a
演習問題 22
22 において, 3+ β3+y3 の値を求めよ.
