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FREL
基本例題 17 分数式の恒等式
a/00000
次の等式がxについての恒等式となるように,定数a,b,cの値を定めよ。
-2x2+6
has b
c
(x+1)(x-1)2x+1
x-1+(x-1)^2
=
指針▷分数式でも,分母を0とするxの値 (本問では−1, 1)を除いて,すべてのxについて成
り立つのが恒等式である。 与式の右辺を通分して整理すると
-2x²+6 a(x-1)²-b(x+1)(x−1)+c(x+1)
(x+1)(x-1) 2
(x+1)(x-1)2
両辺の分母が一致しているから, 分子も等しくなるように, 係数比較法または数値代入法
でα, b,cの値を定める。 このとき, 分母を払った 整式を考えるから, 分母を0にする値
x=-1,1も代入してよい (下の 検討 参照)。
TRIAHO
解答
両辺に(x+1)(x-1)2 を掛けて得られる等式
-2x2+6=a(x-1)2-6(x+1)(x-1)+c(x+1)
もxについての恒等式である。
解答1. (右辺)=a(x2-2x+1)-6(x2-1)+cx+c
=(a-b)x2+(-2a+c)x+a+b+c
2011 =
OS=dA
[S=08
よって
両辺の同じ次数の項の係数は等しいから
a-b=-2, -2a+c=0, a+b+c=6
この連立方程式を解いて
-2x2+6=(a-b)x2+(-2a+c)x+a+b+c
a=1,b=3,c=2
解答 2.① の両辺にx=-1, 0, 1 を代入すると,それぞれ
4=4a, 6=a+b+c, 4=2c
この連立方程式を解いて
基本 15 16
a=1,b=3,c=2
このとき, ① の両辺は2次以下の整式であり,異なる3個の
x の値に対して成り立つから,①はxについての恒等式であ
る。 したがって
a=1, b=3, c=2
(分母) ¥0 から
(x+1)(x−1)²=0
係数比較法による解答。
「両辺の係数を比較して｣
と書いてもよい。
MEG
12-20
数値代入法による解答。
求めたa,b,cの値を①
の右辺に代入し、 展開した
ものが ① の左辺と一致す
ることを確かめてもよい。
検討 分母を0にする値の代入
分母を0にする値x=-1, 1 を代入してよいかどうかが気になるところであるが, これは問題
ない。なぜなら、値を代入した式①は, x=-1, 1でも成り立つ整式の等式だからである。
すなわち、xにどんな値を代入してもよい。
そして,この等式が恒等式となるように係数を定めれば, 両辺を (x+1)(x-1)で割って
る分数式も恒等式である。 ただし, これは x = -1, 1 を除いて成り立つ
