182 母比率の推定
新しい薬を作っているある工場で,大量の製品全体の中から任
意に400個を抽出して検査を行ったところ, 8個の不良品があっ
た.この製品全体について,不良率」に対する信頼度 95%の信
頼区間を求めよ.
精講
母集団の中で,ある特定の性質をもつ要素の母集団全体に対する割
合を母比率といいます.また,標本の中で,ある特定の性質をもっ
要素の標本全体に対する割合を標本比率といいます。
母集団の性質Aの母比率に対する信頼度 95%の信頼区間を,標本比率尺
を用いて推定してみましょう.
この母集団から無作為抽出した,大きさんの標本の性質Aをもつものの個数
をX とすると,
P(X=r)=nCrp”(1− p)”¯r
n-r
(r=0, 1, 2, …, n)
これより,X は二項分布 B(n, p) に従いますので,176 で学習したように,
期待値は E (X)=np, 分散はV(X)=np(1-p)となります.
nが十分大きいとき,Xは近似的にN(np, np (1-p)) に従いますので、
X-np
√np(1-p)
z=
とおいて,Xを標準化すると, Zは N (0, 1) に従います。
正規分布表より, P (-1.96≦Z≦1.96)=2P(0≦Z≦1.96) = 0.4750×2=0.95
ですので,
-1.96≦Z≦1.96 - 1.96 ≦
X-np ≦1.96
√np(1-p)
← -1.96√np (1-p)≦x-np≦1.96√np(1-p)
— −X−1.96√np(1−p)≤−np≤−X+1.96√np(1− p)
n
X-1.96√/
p(1-p) spsxx +1.96
X
p(1-p)
n
n
n
X
は標本の性質Aをもつ標本比率Rを表しています.さらに,nが十分大
n
きいときとはほぼ等しいと見なせますので,信頼度 95%の信頼区間は,
R(1-R)
R-1.96/
≤p≤R+1.96
n
R(1-R)
n
