例題 58
極限で表された関数 (2)
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2n-1
f(x)=lim
1-80
ax -1-x² + bx + c
x²+1
で定義される関数が, すべての実数xに
(鳥取大改)
ついて連続であるための定数a,b,cの条件を求めよ.
考え方 x の極限はx=(x2)"より、x=1 つまり、x=±1 が境目となる.
まず、
x°<1 (|x|<1), x=±1.x>1 (|x|>1)
に分けて関数f(x) を求め、境目を調べる.
→∞
解答
x|<1 のとき, limx"=0 より
f(x)=lim
ax2n-1-x2+bx+c
|x|>1 のとき,
2n
x²+1x¯¯x²+ bx + c
limx2=∞ より
(S
......
...①
OTR) a
1
b
0 (f(x)=lim
x
x2n-2
+
+
2n-1
x
→∞
+
1
2n
xin
C
2n
x"
a
②
分母,分子を x2" で割
x
る.
①,②より、f(x) は, x=±1 で連続である.
....... ③ (
CC 0=(5)E
x=1のとき,
f(1) =
a+b+c-1
2
x=-1のとき,
f(-1)=-
-a-b+c-1
2
(1)""={(-1)^}"
x=1で連続となるのは,
lim_f(x)= lim_f(x)=f(1)
x1-0
②③より
したがって の値
x→1+0
=1"=1
(−1)2n-1
=(-1)2"(−1)'
limf(x)=6+c-1,
b+c_1=q=a+b+c-11(−1)=-1
2
⑤
35.
-a+b+c=1
x=-1で連続となるのは,
1で連続とな
lim f(x)= lim f(x)=f(-1)
x-1+0
x-1-0
① ② ④より,- - 6+c-1=-a
したがって, a-b+c=1
-a-b+c-1
2
M
x→1-0′
limf(x)=a
x→1+0
人はどちらも
式になる.
M'm
はどちらも
⑥の式になる.
m'm
Focus
よって, ⑤ ⑥より,c=1, a=b
f(x)がで連続
