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B7
数列 (20点)
等差数列{a} があり,の+αs=-98, 4s=-34 を満たしている。また, 数列{a} の
初項から第n項までの和をSとする。
(1) 数列 (as) の一般項をを用いて表せ。
(2) S が最小となるnの値とそのときのS" の値を求めよ。
(3)S.の絶対値|S.|が最小となる”の値をNとするとき,Nの値を求めよ。 また, la
の値を求めよ。
配点 (1) 5点 (2) 7点 (3) 8点
解答
(1)
等差数列{a} の初項をα, 公差をd とすると, a1+αs=-98 より
等差数列の一般項
a+d=49
a+(a+2d)= =-98
as-34 より
a+4d=-34
初項α, 公差dの等差数列{a}
の一般項 α は
a=a+(n-1)d
① ② より
a=-54,d=5
よって, 等差数列{ an の一般項は
α-54+(n-1)・5
= 5n-59
完答への
道のり
-48-
a.-5-59
初項と公差に関する連立方程式を立てることができた。
初項と公差を求めることができた。
一般項am を を用いて表すことができた。
(2)
59
45-590 とすると, #S =11.8
5
よって, S0 となるのは、初項から第11項までである。
したがって, S. が最小となるのは
また
Su=1/21・11(2·(-54)+(11-1).5)
完答への
道のり
11/11(58)
=-319
11のときである。
圈 n 11, S. の最小値-319
4 0 となる≠の値の範囲を求めればよいと気づくことができた。
S" が最小となるnの値を求めることができた。
等差数列の和の公式を用いることができた。
①S の最小値を求めることができた。
[(2)の前半の別解]
n{-54+(5n-59)}
2
S=
=125-113)
これより, n < 0, 0 である。
la≧0 を満たす頃の総和がSの
最小値である。
■ 等差数列の和
初項α. 公差dの等差数列{az}の初
項から第n項までの和をS とすると
S=1/2(ata.)
=1(2a+(n-1)d}
(3)
(一部)()*
よって
113
10
(113) に最も近い自然数のとき, S. は最小となる。
したがって
n=11
(1)より, 数列{a} の初項は-54,公差は5であるから
S=1/2n{2-(-54)+(n-1)-5}
n(5n-113)
であり
-49-
2次関数としてそのグラフを考え
るとは自然数であるから, 頂点
に最も近いところで最小となる。
