三角関数のグラフの書き方についてなのですが、右の写真にあるようにθ軸との交点や最大、最小となる点の座標を求めるにはどうしたらいいのでしょうか。例えばθ軸との交点(y=0の点)を求めるために関数の式のyに0を代入してみたのですが、πの二乗？みたいなのが出てきてしまって行き詰ま... 続きを読む

目をいえ、 -0) えられる。 行移動 tulo R To 7 基本例 例題 解答 関数y=2cos 2 cos (25) 04 - 6 141 三角関数のグラフ (2) 基本のグラフy=cose との関係 (拡大・縮小,平行移動)を調べてかく。 指針 y=2cos(12/1)より、y=2cos- 08/1/2 (0-17 ) であるから、基本形 y=cos0 をもとにし てグラフをかく要領は,次の通り。 ① y=cose を軸方向に2倍に拡大 →y=2cos e ②①を軸方向に2倍に拡大 (1/2倍は誤り)y=2cos- 2 0 [3] -T 3, ②を軸方向に45だけ平行移動 注意 y=2cos (1) (12-1)のグラフがy=2cos/1/2のグラフを軸方向に4だけ平行 6 移動したものと考えるのは誤りである。 CHART 三角関数のグラフ 基本形を拡大・縮小, 平行移動 y=2cos(-4)=2cos (0-3) 1/2 1 よって, グラフは図の黒い実線部分。 周期は 2÷ 2 ② y=2cos/ √3 π 2 yA 2 1 のグラフをかけ。 また, その周期を求めよ。 -1 -2 3 y=2cos ½ (0-3) 0 113- I 2 43 37 π! y=coso ino 73 15 2π 5|2 K. 2 022 0=2 cos 2 TV =2人 10 √3 1103 1/ 10 3π 3 →y=2cos- π 7 70 ① y=2cose 2 cos/(0-3) TU 0 = 70-200 033 一 4π = 4T 9 2 13′ 37 π 基本140 2 11 TV - 30²-9 0の係数でくくる｡ y=cos- O=TU 3 229 注意 試験の答案などでは,上の図のように段階的にかく必要はない。 グラフが正弦曲線であることと周期が4πであることを知った上で,あとは曲線上の主な点 をとってなめらかな線で結んでかいてもよい。 (0-7) T2 3 smの周期と同 2 じ。 0軸との交点や最大・ 最小となる点の座標を チェック。 -337, 0), (3, 2), (3, 0), (1/37, -2), 10 (1, 0). (13³7, 2) 4章 2 三角関数の性質、 グラフ

なぜ解説のように連続と言えるんですか？ 微分可能だから連続という考えはわかってますけど、 まだ指数の微分を習ってない状態で、どうとくんでしょうか？ 指数の微分はまだ習っていないのでそれ以外の答え方でお願いします🙏

5 第4章 極限 *244 次の方程式は、与えられた範囲に少なくとも1つの実数解をも →教p.1 示せ。 (1)x- x-(-/-) * = 0 (0<x<1) x (2) 10g10x =0 20 (10<:

展開式の一般項がn!/p!q!r!･a^p•b^q•c^rで求められるのはなぜですか？？ r=0のときとr＝1のときのa^2の係数を足しているのはなぜですか？？r＝0のときとr=1のときは同時に起こってないんじゃないのかなと思ったのですが、、

1章 2章 4章 章 → 章 章 章 ( 1+x+x²) を展開したときの 考え方 多項定理を利用する n! a'b'c' (tetel, p+q+r=n) か!g!r! xの指数が3となるような負でない整数,g,rの組を求める。 (a+b+c)” の展開式の一般項は ポイント 1 展開式の一般項 解答 ( 1+x+x2) の展開式の一般項は 5! -1.x (x2)= p!q!r! ただし p+g+r=5 2② b,g,rの組を求める ① と, g+2r=3 不等式で値を絞る ③3 1 の項の係数の和 ...... ② より q=3-2r≥0 これを満たす負でない整数ヶは ① ② より r=0 のとき 5! p!g!r! ② をともに満たす負でない整数,g,rの組を求 3 よって 2 + 5! 5! 2!3!0! 3!1!1! -X9+2r r=1のとき p=3,g=1 したがって、求めるxの項の係数は r=0, 1 p=2, q=3 =10+20=30 答 練習 (1+2a+3a²) の展開式における d² の項の係数を求めよ。 23 r≦- をすべて求めよ。 〔長崎総

（5）どう考えたら解説の式になるんですか？ 教えて欲しいです

B リード C 基本例題 12 等速円運動 >>44,45,47,48 なめらかな水平面上の点に、長さ0.50mの軽い糸の一端を固定し、他端に質量 1.0kgの物体をつけ, 速さ 2.0m/s の等速円運動をさせた。 (1) 等速円運動の周期 T [s] を求めよ。 (2) 物体の角速度 の [rad/s] を求めよ。 (3) 物体の加速度α [m/s'] の向きと大きさを求めよ。 (4) この運動を続けるのに必要な向心力 F〔N〕 の向きと大きさを求めよ。 (5) 糸が18Nまでの張力に耐えられるとするとき, 最大の角速度' [rad/s] を求めよ。 脂糸の張力が等速円運動の向心力の役割をしている。 2πr 緊習 (1) 等速円運動の周期の式 「T= V 第4章●等速円運動慣性力 31 より T 2×3.14×0.50 2.0 -1.6s (2) 等速円運動の速度の式 「v=yw」より -=4.0rad/s 2.0 V r 0.50 (3) 等速円運動の加速度の式「α=rω°」 より α = 0.50×4.02-8.0m/s2 KKS 向きは円の中心点0を向く。 (5) 角速度が最大のとき F=mrw=18 が成りたつ。 〈物体 向きは円の中心点0を向く。 (4) 等速円運動の向心力の式「F=mrw²」より F = 1.0×0.50×4.0² = 8.0N 2.0m (5 Somat F=1.0×0.50×⑦=18 よって 36 ゆえにω'=60rad/s 5 "L 1

書き直さないで普通にそのまま1/2OAベクトル’ にしてもいいのですか？わざわざ書き直して【”】にしなくてもいい気がしまして

268 異な Ava). B(b) を通る直線AB上の点P(D) が, D=(1+t で表されているとき,次のtの値に対する点Pの位置を 答えよ。 口 (1) t= 3 □ (4) t=- 11/12/2 4 5 コ (5) t=-1 口 (2)t=- 3 2' 269 右の図の平行四辺形OABCにおいて, OA=d, OCとする。このと き,次の直線または線分のベクトル方程式を求めよ。 1 (1) 直線AB 口 (2) 直線 AC (3) 線分 AC (4) 点Bを通り, 直線AC に平行な直線 assist □ (3) t = 2 口 (6) t=1 (1) s+3t=1&V), tOB=3t 270 △OAB において, OP = SOA+tOB で与えられる点Pの動く範囲を,実 数 ‐s, tが次の場合について求めよ。 □(1) s+t=- s≧0, t≧0 口 (2) s+t= 2 5' OB 3 C 0 a 教p.38 応用例題12 □ 271 △OAB において, OP=sOA+tOB で与えられる点Pの動く範囲を,実 数 s, tが次の場合について求めよ。 s+t≤, s≥0, t≥0 と考える。 B s≧0, t≧0 教p.39 応用例題13 272 △OAB において, OP = SOA+tOBで与えられる点Pの動く範囲を,実 数 s, tが次の場合について求めよ。 □ (1) s+3t=1 A HAND 口 (2) -≤s+t≤1, s≥0, t≥0 5160 第4章

247 3、4行目の2mπや2ｎπがつく理由を教えてください

24 (1)30° *(2) 45° To 244 次の角を度数法で表せ。 T * (1) 17/04 *(2) 11/1 *(3) -210° (4) 72° 8 (1) * *(2) -— *(3) 31, π 6 (4) □ 246 次のような扇形の弧の長さと面積を求めよ。 *(1) 半径が5, 中心角が 7 □ 245) 座標平面上で、x軸の正の部分を始線にとる。 次の角の動径は、第何象限にあ るか｡ (4) (5) 420° 25 6 *(5), 2 T (5) 2 (2) 半径が12, 中心角が1/03 0255 STEP B □ 247 座標平面上で, x軸の正の部分を始線にとる。 角α の動径が第2象限にあり, 角βの動径が第3象限にあるとき, 次の角の動径は第何象限にあるか。ただ し,2α, α+βの動径は,x軸上,y軸上にないものとする。 (1) 2a *(2) a+β 第4章 ] 248 半径1cm, 弧の長さ2cmの扇形の中心角は何ラジアンか。 また, この扇形の 面積を求めよ。 ヒント 249 直線の部分と円弧の部分に分かれる。 また、直線は円に接する。 WYT THE *249 半径が6cmと2cmで、中心間の距離が8cm である2つの円がある。この2 一つの円の外側にひもをひとまわりかけるとき, その長さを求めよ。

合成の公式についてです。 θはどこから出てきたんですか？ また、この公式はどんな時に使うんですか？

三角関数の合成 右の図のように, 座標が(α, b) であ る点をPとし, 動径 OP とx軸の正の向 きとのなす角をα とする。 また,線分 ; OP の長さをrとすると よって asin0+bcoso=rcosasine+rsinacoso D a=rcosa,b=rsing =r(sinocosa+cososina)=rsin (0+α) asin+bcose のこのような変形を、三角関数の合成という。 このr, α を求めるには,上で述べたように, 点P(a,b) をとるとよい。 ここで,r=√²+62 であるから,次のことが成り立つ。 三角関数の合成 @sin+bcos0=√a²+b²\sin(0+a) ただし r cos a = a a²+ b² P(a, b) sina = b √a²+ b² y 第4章 三角関数

(3)のn大なりイコール2とありますがこれはなぜですか？

152 00000 重要 例題 95 漸化式と極限(はさみうち) [類 神戸大] 0<a<3, an+1=1+√1+an (n=1,2, 3, ......) によって定められる数列 {an} について,次の (1) (2) (3) を示せ。 (2) 3-an+1<. (1) 0<an<3 ART O SOLUTION 求めにくい極限 CHART はさみうちの原理を利用薫さら 漸化式を変形して, 一般項an をnの式で表すのは難しい。 各小問を次の方針で 考えてみよう。 (1) すべての自然数nについての成立を示すから, 数学的帰納法を利用。 0<a<3 を仮定する。 (2) 漸化式を用いて an+1 を an で表し, (1) の結果を利用する。 (3) (1), (2) で示した不等式を利用し, はさみうちの原理を使って, 数列 {3-an ..... の極限を求める。 ・・・・・!!! はさみうちの原理 すべての自然数nについて ann≦b のとき liman=limbn=α ならば limC=α →∞ 11-00 解答 (1) 0<a<3 ①とする｡ [1] n=1のとき, 条件から0<a<3 が成り立つ。 [2] n=kのとき, ① が成り立つと仮定すると 0<a<3 n=k+1 のとき <(3—an) 3-ax+1=3-(1+√1+ax)=2√1+ak ここで, 0<a<3 の仮定から 1 <1+an<4 ゆえに 1 <√1+a2 よって, 2-√1+αk >0 であるから 3-4k+1 0 すなわち k+1 <3 また,漸化式の形から明らかに 0<ak+1 (3) liman=3 ゆえに, 0 <ak+1 <3 となり, n=k+1 のときにも ① は成 り立つ。 [1], [2] から すべての自然数nに対して①が成り立つ。 ■3-an+1=3-(1+√1+an)=2√1+an (2−√1+an)(2+√1+an) _4-(1+an)_²1 2+√1+an 2+√1+an -(3-a) ( 141 基本事項 3 基本88 数学的帰納法で示す。 ◆n=k+1 のときも 0 < ak+1 <3 すなわち 0 < akt かつ ak+1 <3 が成り立つことを示す。 漸化式から。 分子を有理化。 3-An ここで(1)の結 2+√1+a, </ 3-an+1< <1/13(3-4) (2)の結果から、n=2のとき ② ③ から よって ここで, lim a<3-a<3(3-a-1<3) (3-2)+LE? 0<3-a₂ < (3) m (2) (3- 100 < (1) ²(3-as) がって n-1 liman=3 11-00 lim (3-an)=0 121-00 >3であるから (3-as) 72-00 2+√ltan (3-α) = 0 であるから a>b>0のとき 1 1</ -(3-On) 3 (3-0) 3-an-1 小さいから成り立つ</a 仮定すると, liman+1= α であることから, α=1+√1+α が成り立つ。 |これから,α-1=√1+α であり,この式の両辺を2乗して a²-3α=0 整理すると ゆえに,α(α-3)=0,α> 0 から, α=3であると予想でき る。これを.149のズームUPのようにグラフで確認して みると、 右の図のように極限値が3となることが確かめら </1/3 (3-an-²) はさみうちの原理 INFORMATION 複雑な漸化式で定められた数列の極限 /an+1=1+√1+an, 0<a<3 で定義される数列{an} について, lima =α であると 72-00 y 3 y=1+√1+x 21 153 10 a₁ y=x Az az 3 れる｡ なお,この無理式で与えられた漸化式から一般項 α を求め, 直接 lima =3である ことを示すことは難しいので, lim (3-α)=0を示そうとして (2) の誘導の不等式が 与えられているのである。 2240 4章 10 数列の極限 PRACTICE・・・ 95 ④ u=a (0<a<1), an+1=-120'12/24%(n=1,2,3,..) によって定められる数 列{an} について,次の (1), (2) を示せ。 また, (3) を求めよ。 (1) 0<an<1 (2) r=a2のとき 1-ty≦r (1-an) (n=1, 2, 3, ......) と演習) [鳥取大) ヨチャート の紹介 本質を 全に定 に問 関大 参考書 題学信

数Ⅲ 無限級数 下の写真についてです。 垢マーカーで印をつけた部分ですが、なぜこのような式になるのでしょうか？ S2nー1（2nー1は小文字）のところ（一番最初）から分かりません。 説明を付け足してわかりやすくしていただきたいです。 よろしくお願いします

基本 例題 125 無限級数 1- 1/2+1/12/8/1/3+1/3/1/+1/1/1 ① について (1) 級数 ① の初項から第n項までの部分和をSとするとき, Szn-1, S2をそれ ぞれ求めよ。 (2) 級数 ① の収束 発散を調べ, 収束すればその和を求めよ。 2通りの部分和 S2n-1, San の利用 解普 (1) Sun-1=1-1/2 4 4 指針 (1) S2n-1 が求めやすい｡ S2 はS2=S2-1+(第2n項) として求める (2) 前ページの基本例題124と異なり, ここでは( )がついていないことに注意。 このようなタイプのものでは、S を1通りに表すことが困難で, (1) のように S2n-1, S2 の場合に分けて調べる。 そして,次のことを利用する。 Sn=Szn1 [1] limS27-1 = lim S2 = S ならば limS=S 2400 [2] lim S21-1≠lim S2 ならば 1/12/+2/-/1/3+1/31/+1/1/1 n n =1-(1/2/-/1/1)-(1/3-1/31) (一号)= :1 n+1 ・+ S2=S24-1-1=1-1 n+1 lim S21-1=1, limS2=lim( 4 4 ･･・･・･・･･･・･・･ (2) (1) から よって limS=1 したがって, 無限級数 ① は収束して, その和は1 n+1 11:00 {S} は発散 + 基本124 = 部分和 (有限個の和)なら ( )でくくってよい。 [参考] 無限級数が収束すれば, その級数を、順序を変えずに 任意に( )でくくった無限級 数は,もとの級数と同じ和に 収束することが知られている。 検討 無限級数の扱いに関する注意点 上の例題の無限級数の第n項を [1/1 と考えてはいけない。 ( )が付いている場合は,n 1 n+1 番目の( )を第n項としてよいが,( )が付いていない場合は, n番目の数が第n項となる。 注意 無限級数では, 勝手に( )でくくったり、 項の順序を変えてはならない! [例えば, S=1-1+1−1+1−1+....=(1-1)+(1-1)+(1-1)+•••••• したら大間違い! (Sは公比1の無限等比級数のため、 発散する。) ただし, 有限個の和については,このような制限はない。 とみて, S=0 な 0などと] 211 4章 15 無限級数

整数解や自然数解を求めるときに青丸で囲ってあるような考え方で書いてある時と、ユークリッドの互除法で書いてある時があるのですがどういうときに青丸で囲ってあるような考え方ができるとか決まってるのでしょうか？

0 2 し xが2桁で最小である組は (x,y)=(^^) である。 等式2x+3y=33 を満たす自然数x,yの組は CHART SOLUTION 方程式の自然数解 不等式で範囲を絞り込む ・・・・・・図 2x+3y=33 から 2x=33-3y すなわち 2x=3(11-y) 2と3は互いに素であるから, xは3の倍数である。 ⑩において, y ≧1 であるから 11-y≤10 2x≦3・10=30 更に, x≧1 であるから 1≤x≤15 x = 3, 6, 9,12,15 ②③から ゆえに, 等式を満たす自然数x,yの組は それらのうちxが2桁で最小である組は 別解 x=0, y=11 は, 2x+3y=33 であるから 2.0+3・11=33 ①②から 2x+3(y-11)=0 すなわち 2x=-3(y-11) 2と3は互いに素であるから、①のすべての整数解は x=3k, y=-2k+11 (kは整数) 「x, y が自然数」すなわち x≧1, y≧1 (あるいは x>0,y>0) という条件を利 用して,最初から x,yの値の範囲を絞り込む とよい。 別解 基本例題122 と同様にして方程式 2x+3y=33 の整数解を求めた後で, x, が自然数になるように絞り込んでもよい。 とされる。 x≧1,y≧1 であるから 3k≧1, -2k+111 よって -≤k≤5 んは整数であるから k=1, 2,3,4,5 ゆえに, ① を満たす自然数x,yの組は『5組 PRACTICE... 124 ③ ■ 組ある。 それらのうち [福岡工大] 5組 (x, y)=(112, 3) ① の整数解の1つ (2) xが2桁で最小となるのはk=4 のときであり, このときの組は (x, y)=(12, 23) (2) |基本 122 満たす自然数x,yの組を求めよ。 重要 125 11-yは2の倍数である からyは奇数。 こちら から絞り込んでもよい。 ◆それぞれのxに対して, yは自然数になる。 2x=33-3y =3(11-y) と変形してもよい。 ←-2k≧-10 から k≤5 不等号の向きに注意。 xが2桁のとき x=3k≧10 4章 15 ユークリッドの互除法