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ENGRENS. 4K 89
重要 例題 104 最大・最小の応用問題 (2) 題材は空間の図形 ①①①①
半径1の球に,側面と底面で外接する直円錐を考える。この直円錐の体積が最
基本 103
小となるとき, 底面の半径と高さの比を求めよ。
指針立体の問題は,断面で考える。→ここでは,直円錐の頂点と底面の円の中心を通る平
面で切った 断面図 をかく。 問題解決の手順は前ページ同様
① 変数と変域を決める。
2 量(ここでは体積) を で決めた 変数で表す。
3 体積が最小となる場合を調べる (導関数を利用)。
であるが,この問題では体積を直ちに1つの文字で表すことは難しい。 そこで,わか
らないものはとにかく文字を使って表し, 条件から文字を減らしていく方針で進める。
50-0
直円錐の高さをx, 底面の半径を r,
解答 体積をVとすると, x2 であり
A TATR)S
(高さ)> (球の半径) x2
から。
7=
......
①
x
3
D
球の中心を0として,直円錐をその
頂点と底面の円の中心を通る平面で
切ったとき,切り口の三角形ABC,
および球と △ABC との接点 D, E を
右の図のように定める。 (Onie-nia +(1+8203)8 200/
△ABE∽△AOD (*) であるから AE: AD=BE:OD
B
--E
C
(*) △ABE と △AODで
∠AEB= ∠ADO=90°
∠BAE = ∠OAD (共通)
26
すなわち x:√(x-1)2-12=r:1
(1+0 2000 2001
0200S) (1+0 200)
対応する辺の比は等しい。
AD は, 三平方の定理
を利用して求める。
x
よって
r=
2)
√x²-2x
②①に代入して
V=π
2
x
π
x
•x=
3
dV π2x (x-2) -x2・1
x-2
πx(x-4)
•
3(x-2)2
よって
dx = 17
3
(x-2)2
dv
= 0 とすると, x>2であるから
x=4
dx
x>2のときVの増減表は右のようになり、 体積 V
はx=4のとき最小となる。
このとき, ②から
r=√2
ゆえに, 求める底面の半径と高さの比は
r:x=√2:4
Vをx (1変数) の式に
直す。
()
u'v-uv
v.2
x
2
4
dv
4
20
dx
V
極小
+
