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近畿大 ]
基本34
anの
える。
例題
基本
la=2, an+1=
an
(1)n(n+1)
((2) an
39 an+1=f(n) an+g型の漸化式
n
an+1によって定められる数列{a} がある。
-=bn とおくとき, bn+1 を bn とnの式で表せ。
をnの式で表せ。
4
an
(1)
bn=
n(n+1)'
bn+1=
an+1
指針
(n+1) (n+2) で割る。
(n+1)(n+2)
を利用するため, 漸化式の両辺を
・基本25
(2) (1) から bn+1=bn+f(n) [階差数列の形]。 まず, 数列{6} の一般項を求める。
n+2
(1) an+1=
n
解答
an+1の両辺を (n+1) (n+2) で割ると
an+1
(n+1)(n+2)
1
an
n(n+1)
+
(n+1)(n+2)
2+1) (n+2)...(*)
an
-=bn とおくと
n(n+1)
bn+1=6n+
1
(n+1)(n+2)
(2)61=
1.2
bn=b₁+
=1+
a1 =1である。 (1) から, n≧2のとき
1
n-1
=1+
◄an=n(n+1)bn,
an+1=(n+1)(n+2)6n+1
を漸化式に代入してもよ
い。
bn+1-bn
1
(n+1)(n+2)
◆部分分数に分解して,差
の形を作る。
1
k+2
n
n+1
途中が消えて、最初と最
後だけが残る。
3n+1
k=1(k+1)(+2)
=1+(1/2)+(赤)
=1+
3
1
=
2 n+1 2 n+12(n+1) ①
b=1であるから, ① は n=1のときも成り立つ。よって
an=n(n+1)bn=n(n+1)・ 3n+1 n(3n+1)
=
2(n+1)
2
①初項は特別扱い
上の例題で,おき換えの式が与えられていない場合の対処法
n+2
検討漸化式のαに が掛けられているから, 漸化式の両辺に×(nの式)をして
n
【PLUS
ONE
f(n+1)an+1=f(n)an+g(n) [階差数列の形] に変形することを目指す。
(n+1)の式n の式
まず,漸化式の右辺にはnn+2があるが, 大きい方のn+2は左辺にあった方がよい
あろうと考え、両辺を (n+2) で割ると
D an+1 an
A
n+2 n n+2
2つの項
のうち, 左側の分母をf(n+1), 右側の分母をf(n) の形にするために, A
両辺を更に(n+1)で割ると、解答の(*) の式が導かれてうまくいく。
