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基本 例題5 二項係数と等式の証明
(1) k,C=Nカー1C&-1(n22, k=1, 2,
(2)(1+x)”の展開式を利用して, 次の等式を証明せよ。
(ア) Co+,Ci+»C2+………+,C,+………+,Cn=2"
(イ)Co-,Ci+ C2-……+(-1)",C,+…………+(-1)",C»=0
(ウ) Co-2,Ci+2°,C2-……+(-2)",C,+… +(-2)",C,=(-1)"
n)が成り立つことを証明せよ。
p.11 基本事項4
n!
指針>( C,=
r!(n-r)レ
利用して, knCa, nnー1Ch-1 をそれぞれ変形する。
(2)(ア)二項定理(6.11 基本事項4)において,a=1, b=xとおくと
(1+x)"=,Co+,Cix+.Czx°+…+,C,x"+……+,Cnx"
等式のと,与式の左辺を比べることにより,①の両辺でx=1 とおけばよいことにタ
づく。同様にして,(イ),(ウ) では xに何を代入するか を考える。…… 』
解答
つこやの
n!
1) kCk=k!(n-k)!
=n*
An!=n(n-1)!
合楽役箱
1ァー1C&-1=n
=n
(k-1)!{(n-1)ー (k-1)}!
kC=n-1C&-1
2)二項定理により,次の等式①が成り立つ。
したがって
すべてのxの値に対して成り立つ。
(1+x)”=,Co+»C.x+»C2x°+………+Crx"+………+,Cnx"
(ア) 等式ので, x=1とおくと
よって
Co+,Ci+,C2+……+,C,+…+Cn=2"
(イ) 等式ので,x=-1とおくと
よって
Co-Ci+,C2- +(-1)",C,+…+(-1)",Cn=0
千文人n
(ウ) 等式ので,x=-2とおくと
(1-2)”=,Co+»C(-2)+»C2·(-2)°+………+,C,.(-2)"+………+,Cn°(-2)
Co-2,C;+2°,C2-…+(-2)",C,+……+(-2)",C»=(-1)"
よって
三考かを素数とするとき,(1)から
この式は,C が必ずかで割り切れることを示している。
R,C&=Do-iCk-1(p22; k=1, 2, ……, p-
人n干民
次の等式が成り立つことを証明せよ。
Ci」nC2
2?
東習
a(S式)3[1
5
+(-1)"aCa_ 1
2
2"
2"
X .
(2) nが奇数のとき Co+C2+……+,Cn-1=』Ci+Cs+………+.Cn=2"
CotSet……+,Cn=nCi+»Ca+……+,Cn-1=2"-
nが偶数のとき
