基促向
122 2 項間の漸化式 (I)
次の式で定義される数列の一般項an (n ≧1) を求めよ.
(1) α=1, an+1=an+2
(2) a1=2, an+1=3an
(3) a1=0, an+1=an+n²
|精講
数列は規則性をもった数字の列ですから,実際の数字を並べなくて
もその規則性を明示すれば数列を表現したことになります. その規
則を表現した式が漸化式 (｢ぜんかしき」と読みます) です. 漸化式
には様々な型があり,その型によって解き方(=一般項の求め方) が決まりま
す.これから8回にわたって, 型別の漸化式の解き方を勉強していくことにし
ましょう.
解答
(1) α=1, an+1=an+2 は初項1,公差2の等差数列を表すので、
an=1+(n-1)・2=2n-1
110
(2) a1=2, an+1=3an は初項2、公比3の等比数列を表すので,
an=2.3n-1
(3) an+1-αn=n² より
{an}の階差数列の一般項は²
よって,n≧2 のとき, an=0+Zk²=1/23(n-1) n(n-1)
-(n⋅
これは,n=1のときも含む.
ポイント
an+1=an+d
an+1=ran
an+1=an+f(n)
n-1
121 ポイント
→
{an} は公差dの等差数列
{an}は公比rの等比数列
{an}の階差数列の一般項はf(n)
