基本例題 33 直線のベクトル方程式,媒介変数表示
(1) 3点A(a), B(L), C(c) を頂点とする △ABC がある。 辺ABを23に内
分する点 M を通り,辺 AC に平行な直線のベクトル方程式を求めよ。
(2) (ア2点(-3,2), (2, -4) を通る直線の方程式を媒介変数を用いて表せ。
(イ)
p.432 基本事項①)
指針 (1) 定点A(a) を通り, 方向ベクトルの直線のベクトル方程式は=a+td
ここでは, M を定点, AC を方向ベクトルとみて、この式にあてはめる (結果は、
こおよび媒介変数t を含む式となる)。
A
(2)
t を消去した形で表せ。
(ア)で求めた直線の方程式を,
t
2点A(a), B() を通る直線のベクトル方程式は=(1-t)a+
p=(x,y), a=(-3, 2), =(2, -4) とみて,これを成分で表す。
解答
(1) 直線上の任意の点をP(n)とし, tを媒介変数とする。
3a +26
5
M (m) とすると m=
辺ACに平行な直線の方向ベクトルはACであるから
3a+26
p=m+tAC=
+t(c-à)
5
=
よって
(x,y)=(1-t)(-3,2)-(2-4)
=(5t-3, -6t+2)
x=5t-3
整理して
b=(²³ −t)ã+ ²/b+tc († 1±#^TB)
(2)(2点(-3, 2), (2,-4) を通る直線上の任意の点の座でもよい。
標を(x,y) とすると
t=-1
<BP(p) (Aa)
=(-3(1-t)+2t, 2(1-t)-4t)414 30
......
・②とする。
(イ) x=5t-3
・ ①, y=-6t+2
① x6+② ×5 から 6x+5y+8=0
M(m)
123
B(6)
( t は媒介変数)
y=-6t+208 JJSSEL
C(C)
I2X>0
p=3a+25 +t(c-à)
5
t=0
c-a
t=1
P(x,y), A(-3, 2),
B(2, -4) とすると,
OP=(1-t)0A+tOB
と同じこと (Oは原点)。
各成分を比較。
を消去。
[参考] 数学ⅡIの問題として, (2) を解くと, 2点(-3,2),(2, -4) を通る直線の方程式は,
-4-2(x+3) から
6 8
y=-5
y-2=
XC 5
