基本例題 104 倍数の判定法
S80/00000
(1) 5桁の自然数 2576 が8の倍数であるとき,□に入る数をすべて求めよ。
(2) 6桁の自然数Nを3桁ごとに2つの数に分けたとき,前の数と後の数の差が
7の倍数であるという。このとき, N は 7の倍数であることを証明せよ。
(例) 869036の場合 869-036=833=7×119 であり, 869036=7×124148
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[(2) 類 成城大] p.468 基本事項|
指針 (1) 例えば,8の倍数である 4376は, 4376=4000+376=4・1000+ 8・47 と表される。
1000=8･125は8の倍数であるから, 8の倍数であることを判定するには, 下3桁が 8 の
倍数であるかどうかに注目する。
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(ただし, 000 の場合は0とみなす)
Onlin
(2) の表し方がポイント。 3桁ごとに2つの数に分けることから, N=1000α+b
100 ≦a≦999, 0 ≦ ≧999) とおいて, Nは7の倍数N=7k(kは整数) を示す。
.........
解答
(1)□に入る数を α ( α は整数, 0≦a≦9) とする。
下3桁が8の倍数であるとき, 2576は8の倍数となるから
700+10a+6=706+10a=8(a+88) +2(a+1)
2(α+1) は8の倍数となるから, α+1は4の倍数となる。
よって
α+1=48 すなわち α=3.7
したがって、口に入る数は
3, 7
(2) N=1000a+b (a, bl; 100≤a≤999, 0≤b≤999)
とおくと,条件から, a-6=7m (mは整数)と表される。
ゆえに,a=b+7m であるから
N=1000(6+7m)+6=7(1436+1000m)
したがって,Nは7の倍数である。
|706=8・88+2
10≦a≦9のとき
1≤a+1≤10
|869036=869000+36
=869×1000+36
のように表す。
10016+7000m
=7･1436+7・1000m
