15
a,b,c を整数とする。
a2+62+c²-ab-bc-ca が奇数ならば, a, b,cのうち奇数の個数は1個または
2個であることを証明せよ。
【証明】 与えられた命題の対偶
「a, b, c がすべて偶数またはすべて奇数ならば,
a²+B²+c^²-ab-bc-ca は偶数である。」
を示す。
[1] a, b, c がすべて偶数のとき
整数 p, g, r を用いてa=2p, b=24, c=2r と表される。
このとき
1=((a−b)² + (b—c)²+(c − a)²}
=((2p−2q)²+(2q−2r)² + (2x − 2p)²}
= 2(p-q)²+(q-r)² + (r-p)²] .
a²+b²+c²-ab-bc-ca=-
(p_q)(q-r2+(-p)^2は整数であるから,①は偶数である。
[2] a,b,cがすべて奇数のとき
整数1,m,nを用いて α = 21 +1, b=2m+1,c=2n+1 と表される。
このとき
a²+b² +c²_ab_bc_ca=½{(a−b)²+(b−c)²+(c—a)²}
=1/12 (21−2m)+(2m-2)^2+(2-21)²}
=2{(1-m)²+(m-n)²+(n-1)2}
(1-m)²+(m_m)² +(n-1)²2 は整数であるから,②は偶数である。
したがって, [1], [2] のいずれの場合も,a²+b2+c²-ab-bc-ca は偶数である。 ロ
