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友がすべての実数値をとって変化するとき, 点Pの描く図形を図示
考え方(1) 点Aを基点として, AB=5, AC=ē, AP=D とおいて与式に代入し,
トル
611
例題 349 ベクトルと軌跡
ベクトルと図形
3
平面上にAABCがあり, 実数をに対し,
3PA+4PB+5PC=kBC
を満たして動く点Pがある。このとき,次の問いに答えよ、
であるから, Si: S2=1:2 のとき,
S.-s
AABQの面積を S。とすると,
AP:AQ=3:4 ② より,
S-S--
せよ。
eイAPAB, APBCの面積をそれぞれ, Si, Sa とするとき
S;: S:=1:2 となるようなkの値を求めよ。
41
38
BQ:BC=1:6 ……3
-s
1
したがって、
次に,①を変形すると,
AP=6
(4+k)5+(5-k)
AABC:AABQ
第9章
=BC:BQ
カ=●+kの形に変形する. (pは, を通り,
(2) AABC の面積をSとし, まずは Si, S2 をそれぞれSで表す。
に平行な直線)
12
であり,2より,
(1) 点Aを基点とし、, AB=6, AC=C, AP=6 とおく、
3PA+4PB+5PC=kBC より,
解答
AQ=-AF-4.(4+k)5+(5-k)こ
3
12
3(-)+4(5-)+5(G-)=k(c-あ)
12万=46+5c-k(C-あ)
(4+k)6+(5-k)と
9
古た, 5一た_9._1
ー=1
あ- 45+5c 。
12
たを含まない部分
(動かない)と,kを合
む部分(動く)に分け
BQ=AG-AB
(4+k)6+(5-k)c.
よって,
より、点Qは直線BC
上の点である。
点PがAABCの内部
12
3.45+5c
4
線分BC を5:4 に内分する点を D, 線分 AD を
9
kに-)
-5に-あ-号BC
三
る。
5-k
の場合と外部の場合が
9
12
9
9
ある。
3
12 4
15-k:1
3:1に内分する点をEとすると,
だから,
BQ:BC=
9
A
カーAD-BC-AE-C
|5-k
3より,
1
12
12
よって,点Pは点Eを通り辺BCに平行な直線上
にある。
その直線と辺 AB, ACの交点をF, Gとすると,
F/ IP
G
3
3
5-k=±
2
E
P
BIQ
C
13
よって、 カ=子
AF:FB=AG:GC
B
-4 C
2' 2
=AE:ED
=3:1
であるから,点Pの描く図形
は,右の図の直線FGである。
P/F
F
P
C
kがすべての実数値を
とるので,直線FGと
なる。
Q1B
6
1
注》頂点Bを基点とし, BA=a, BC=6, BP=D とすると,
3PA+4PB+5PC=kBC は, 3(G-)+4(-)+5(c-)=kc
となる。
(2) 直線 AP と直線 BCの交点をQとすると,
B
FG/BC より,
AQ:PQ=AB: FB=4:1
したがって, AABCの面積をSとすると, 点Pが
どこにあっても,APBC の面積 S2 は一定で
DA
この式を整理すると, カ=a+
12
S-5
よって,点Pは,辺 ABを3:1に内分する点Fを通り直線 BC
に平行な直線上を動く。
B
13
AABC があり,実数kに対して, 点Pが PA+2PB+3PC=D&AB を満たすも
のとする。次の問いに答えよ。
(1) kが実数全体を動くとき, 点Pの軌跡を求めよ。
(2) 点PがAABCの内部にあるようなんの値の範囲を求めよ。
P
G
練習
349
OABU
Q
