早 唯
Think
例題 206
反復試行 (6) 最大確率
****
1個のさいころを13回続けて投げるとき、6の目が回出る確率を Ph
とする.このとき,次の問いに答えよ.ただし,0≦k≦13 とする.
(1) Pk, Pk+1 の式で表せ.
(2) Pkが最大であるkの値を求めよ.
考え方 (2) Pk Ph+1 の大小関係(Ph> Pk+1, Pk <Pk+1)を調べる.
解答
(1) 13回の試行で, 6の目がん回出るとき, 6の目以外は
(13-k) 回出るから.
Ph=13Ckl
(1)(3)
13-k
同様に,0≦k≦12 のとき,
k+1
Pk+1=13Ck+1
6
(2)
PR
308
1
1
5
Pk+1 (k+1)! (12−k)!()()
13!
k!(13-k)! (1)(2)
6
13-(k+1)
=13Ck+10
12-k
6
k
13-k
6
k+1,
12-k
「6の目が出ない」
は「6の目が出る」
の余事象
P+1はPのに
+1 を代入すると
よい.
(k+1)=(k+1) ・k!
(13-k)!
=(13-k)(12-k)!
1
6(13-k)
-X
6(k+1)
5
X-
k+1 6
13-k
1 5
5(k+1)
13-k 6
k=1/3のとき
(8)(LP=Pk+1 となるが、
=P+1となるが,
(i)
=
PR+1 13-k
4
21を解くと,k=
k≤ 1.33...
k, k+1が整数とな
PR
5(k+1)
3
らないので不適
Pk
より,k1のとき, Ph+11 つまり Pr<Pk+1
> 1 つまり Ph<Pk+1
おおよそ下の図
最大値引
cus
(ii) Ph+1<1 のとき,(i)より、 k>1.33.
Pk
より,k≧2 のとき,P, Ph+14
(i), (i)より,k=0 のとき Po<P1, k=1 のとき Pi<P2,
k=2のとき P2P3, k=3 のときP3>P4,
となり, Po<Pi <P>P3>P> ...... >P13
よって,k=2のとき最大となる。大
0123
1213k
具体的に代入して書
き並べる。
