解答
基本 例題
119 2つの2次方程式の解の条件
00000
0 とする。 2 つの方程式 ax²-4x+a=0,xi-ax+a2-3a=0について,次の
xax²
条件が成り立つように、定数αの値の範囲を定めよ。
(1)2つの方程式がともに実数解をもつ
(2)2つの方程式の少なくとも一方が実数解をもつ。
「指針」
2次方程式 ax2+bx+c=0 の判別式をD=62-4acとすると
実数解をもつ⇔D≧0
2つの2次方程式の判別式を, 順にD1, D2 とすると
(1) D1≧0 かつ D2≧0
-
「解の共通範囲
0
(2) D10 または D2≧0 → 解を合わせた範囲 (和集合: p.81 参照)
なお, 範囲を求めるときは, a≠0 という条件に注意。
YAHO
2次方程式 ax²-4x+α=0,x2-ax+a2-3a=0の判別式 α≠0 から,
を, それぞれ D1, D2 とすると
基本 100
D1
D₁ =(-2)²-a.a=-(a²-4)=(a+2)(a−2)
mo(+)
.mo (1-3
ax²-4x+a=0は2次
方程式である。 なお、2
つの判別式を区別するた
めに, D1, D2としている
D2=(-a)2-4・1・(α2-3a)=-3a+12a=-3a(a-4)
(1) 問題の条件は D1≧0 かつD2≧の禁
D120から (a+2)(a-2)≤0
下に
よって
-2≤a≤2
い
るからyを刺去す
a0 であるから −2≦a<0,0<a≦2... ① <a≠0に注意。)
D20から 3a(a-4)≤0.
よって
0≦a≦4
a≠0 であるから 0<a≦4
a4co?+x)(5)(1-x)
②
①②の共通範囲を求めて
0<a≤2
(2)問題の条件は
VE
8+01+
-2 0
4 a
ENE
08-013
②
D1≧0 または D2≧0Ⅰで最小値
①と②の範囲を合わせて
①から
2つの方程式の一方だけが実数解をもつ条件
-2≤a<0, 0<a≤4
220
2
4 a
SSIS
という条件は
2
