統計学 積率母関数、モーメント母関数の問題です 解説で、「従って、t＜1 の範囲 で」というように範囲が絞られている理由がよくわかりません 教えていただけると幸いです！

(ex.2.6.1) 確率変数 X の確率密度関数が次のように与えられている。 ex x>0 (x) ={ その他の場合 (i) Xの積率母関数を求め,積率母関数を使ってE(X), E(X2) を求めよ。 (i) Y=2X-3 の積率母関数を求め,E(Y)を求めよ。 (ex.2.6.2) 確率変数 X の積率母関数が次のように与えられている。 t? Mx(t) =exp 2

解き方教えて欲しいです

問、Determine if each of the following subsets of R* is a subspace of R and explain the reason. [以下の部分集合が R'の部分空間である か否かを判定し,その理由を説明せよ.] E R| 2, + 2,-130 E。 三 1+ (2) W。 E R|ER ニ 2+ 2c E R D, (3) Ws = 20 2 E, ER? E, ミ0 (4) W。 ニ 2 2 ( Ws 2," + 2, +13D0 C,

リーマン積分に関する問題です。 よろしくお願いします！できるところまでやっていただいてもいいです。

定義 関数f:a, b) -→ R (a < b) が Riemann 可積分であるとは,ある実数IER が存在して,任意の e>0に対して6 >0が存在して, a= £o <£1 <…く En-1 < In = b が,任意のi= 1,.., n に対して I;- 2i-1 <6を満たす時,任意の; e [z;-1, T;) に対し i=1 を満たす事を言う.この時,Iを :| f(x)da と表す。 問 3. Key Words: Riemann 積分, Chebyshev の不等式 チェビュフの不等 正値の関数f:[a, b) → R (a < b) が Riemann 可積分であるとする.任意の正の実数 t>0に対 して,集合 A, を次で定める: At:= {ue [a,b)| f(x) >t}. 集合 A, が空でない時,任意の正数e>0に対して, 互いに交わらない有限個の右半開区間 {[z;-1, z;)}=: が存在して,A, cU[-1, 2;) C [a,b) 旦, =1 sQs SSay 1+ 2;- i-1)S 9" f(x)de とするとき bisb.s…s i=1 を満たす事を示せ arbntいtanti W at he tい tahe brtいいtbw 今週の問 2, 間3は来週の問題でも使う可能性がある。 abit いnt hntw

二項定理の問題なんですけど、 （√6）^10－24が、 （2・3）^－7になる理由が知りたいです。

2+2i-62 1-2 ゆえに,エ=ウ4, y=エー2 4-2i」4+2i 4-2 (i) 与式= (4+2i) (4-2i)(4+2i) 16+167+4 16-42 (4-2i)i 三 3+4i 14i-2+- 5 三 =-4i-2+ オー7ーカ16i キ5 ニ APPROACH 展開式の一般項をおさえる。 解答展開式の一般項は, 1C.(az)10-1)- 2 =10C,2"al0-3r.! )-3rm10-2r (ただし, ァ3D0, 1,2 z10-2r が.2となるのは r=4 のときであるから,その係 10) 数は 10C,2%a'0- 10-9-8-7.2*_5·3·7·25 10-12- ニ 4.3.2·1 α° a 2 これが 560=2*.5-7 であるから 5-3-7·25 -=2*·5·7 a>0 より, a=/ア6 また, ェ-6の項は y=8 のときであるから, その係数は 10C,2° (/6):0-24= 10-9 2.1 イ10 *2.(2-3)-7=- ウ243 APPROACH 係数比較法か数値代入法かを判断する。 解答について整理すると,

(ii)と(iii)がどうしてこうなるのか分かりません お願いします

b. [1+] Let t(n) be the number of total partitions of n, as defined in Exam- ple 5.2.5. Let g(n) have the same meaning as in Exercise 5.26. Deduce from (a) that g(n) = 2"t(n) for n >1. c. [2+] Give a simple combinatorial proof of (b). 5,37. a. [2+] Let 1=D po(x), pi(x), be a sequence of polynomials (with coeffi- cients in some field K of characteristic O0), with deg pn=n for all nE N. Show that the following four conditions are equivalent: ) Pn(x + y) =DE>o (") Pe(x)pnーk(y), for all n eN. (i) There exists a power series f(u)=aju+azu'+ E K [[u]] such that と P(x)- un expxf(u). (5.110) n! n>0 仮定 NOTE: The hypothesis that deg pPn=nimplies that aj ¥ 0. () E20 Pa(x) = (E>0 Pn(1)). (iv) There exists a linear operator Q on the vector space K[x] of all poly- nomials in x, with the following properties: ●Ox is a nonzero constant ●Qis a shift-invariant operator, i.e., for all aeK,Qcommutes with the shift operator E4 defined by E® p(x)=D p(x +a). ● We have Qpn(x) =D npn-1(x) for all n e P. NOTE: A sequence po, Pi, .. . of polynomials satisfying the above con- ditions is said to be of binomial tvpe. The operator Q is called a delta

この問題の丸の部分には、なぜ－1が入るのでしょうか。

基本例題 10] 直線に関する対 直線 x+y=1 に関して点Qと対称な点をPとする。点Qが直独 x-2y+8=0 上を動くとき, 点Pは直線 上を動く。 156 重 基本79.% (1 (コ OLUTION CHART 線対称 直線(に関して, PとQが対称 [1] 直線 PQ がlに垂直 C >P 台 [2] 線分 PQの中点がl上にある 点Qが直線ォ-2y+8=0 上を動くときの, 直線:x+y=1 に関して点Qと対称な点Pの軌跡, と考える。 つまり, Q(s, t) に連動する点P(x, y) の軌跡 →0 s, tをx, yで表す。 2 x, yだけの関係式を導く。 (解 前 のinf. 線対称な直線を求め 解答 直線x-2y+8=0 …0 の上を動く点をQ(s, t) とし, 直線 x+y=1 に関して点Qと対称な点を P(x, y)とする。 直線 PQ が直線②に垂直で の 71(p.131)のような方法も あるが、左の解答で用いた 軌跡の考え方は,直線以外 の図形に対しても通用する。 るには,EXERCISES ………の Q(s, t) 1 -8 あるから /P(x,y) 1-y *垂直→傾きの積が -1 線分 PQの中点が直線 ②上にあるから x+s MO -線分PQの中点の座標は 2 3から のから s-t=x-y (x+s s+t=2-(x+y) S, tについて解くと また,点Qは直線①上の点であるから S=1-y, t=1-x… 5 *上の2式の辺々を加え ると 2s=2-2y 辺々を引くと -2t=2x-2 * s, tを消去する。 s-2t+8=0 … 6 6を6に代入して したがって, 求める直線の方程式は (1-y)-2(1-x)+830 2.x-y+7=0 PRarTiC

⑵の〜がohベクトルだから というところがなぜそうわかるのかがわからないです。教えていただきたいです🙏

●11 aOA+6OB+c0C=D0- 原点0を中心とする半径1の円周上にある3点A, B, Cが条件7OA+50B+30C=D0 を満た すとき,次の問いに答えよ。 ト(1) ZBOCを求めよ。 (2) 直線 CO と直線 AB の交点をHとするとき, OH を OC を用いて表せ、 (3) AOHB の面積を求めよ。 (島根大·総合理工ー後/一部略) a0A+60B+cOC=0 の使い方 0を中心とする半径1の円周上に A, B, Cがある……☆ という条件が効いてきて△ABC の形状が決 まる(O3では △ABCの形状は決まらない).☆, すなわちOA=OB=OC=1 を使うために 70A+50B=-30C などと変形(どれか一つを右辺に移項)して各辺の大きさの2乗を考える: 170A+50B|P=|-30C|P ○3のaPA+6PB+cPC=0 と同じ形であるが, この例題では, : 49|OAP+70OA·OB +25|OB P=9|0C|P 700A-OB=-65 49+700A-OB+25=9 OA-OB=-13/14 これより OA と OB のなす角の大きさ(cos ZAOB=-13/14; OA=OB=1 に注意)が求められる。 (1)では,ZBOCを求めるので5OB +30C=-70A として各辺の大きさの2乗を計算する。 言解答 70A +50B +30C= D0 (1)のより,50B+30C=-70A : 150B+30CP=|-70AP : 25|OB|P+30OB·OC +9|0C|P=49|OA|P 10A|=|OB|=|OC|=1だから, 0 1 1 A B 1 OB-OC 2 25+30OB·OC+9=49 ニ [O3と同じとらえ方をすると] のの始点をCに書き直して, OB-OC 1 ZBOC=60° 2' よって cosZBOC= 7 lOB||OC| CA+ 15 15 CB CO= (2) Oより, C -CA + 5 -CB 12 12 OC=- 1 (70A+50B) 12 -(70A+50B)=-4· ミー- 3 これのカッコ内が CH 0 )60° m wm が OH だから, OC=-4OH B つまり,CO=CH. この式の A H 120° -oC 4 1 4 始点を0にすると OH=--oc 4 OH が得られる。 (3)(1)より ZBOH=120°, (2)より OH= OC= = となるので, 4 /3 V3 1 -OH·OB·sin120°: 11 24 AOHB= 2 16

この解き方教えてください。 簡単にお願いしますm(_ _)m

【3) 次の割り算を完成させたとき、 c+d+e+f+g+h+の値は である。 ロロ8ロロ a b)cdefgh i C 0 4)

この問題の解答を解説していただきたいです。 とくに引き算によって余りの部分が相殺されるという意味がわかりません、

数的推理 問 題 的推理 さ 次の記述を読んで、 解答群から正解を1つ選べ。 周5 正解4 リンゴが52個、ミカンが79個、バナナが97個ある。 こわ らの果物を何人かの子どもたちに同じ個数ずつ分けたところ どの果物も同じ個数ずつ余った。 何個ずつ余ったか。 ただしさ どもの人数は4人以上であった。 5 check! 27 リンゴ - 52個 18 79個 ミカン 14個 25個 3 6個 4 7個 5 8個 日 97個 子どもたちに 配られた分 バナナ 日本 余り この図でST- 日水 ミカンとリンゴの差は 79- 52 =D 27個であるが、この引き算に より余りの部分が相殺されているので、27は子どもの人数でちょ うど分けることができる数である。 また、バナナとミカンの差は97-79=18個で、これも余りの 部分が相殺されているので、18は子どもの人数でちょうど分ける ことができる数である。 27 と18を割ることのできる数(公約数)は、1、3、9であるが、 子どもは4人以上であるので、人数は9人と分かる。 そこで、52、79、 97をそれぞれ9で割ると、どの果物も余りが 7であることが分かる (27=9、 18÷9は、ミカンはリンゴより 3個多く、バナナはミカンより2個多く配っていたことを示してい る)。 これを解いて

（1）についてiz=-1とiz≠-1で場合分けする理由がわかる方いますか？

Check 例題 35 同一直線上にあるための条件円 (1) 複素数平面上において, 3点P(-1), Q(iz), R(z?) が同一直線上に あるための条件を求めよ。 (2)複素数平面上で, 異なる3つの点α, B, Yが同一直線上にあるため の必要十分条件は aB+By+ya が実数となることである。これを 証明せよ。 0=8 ((津田塾大)