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2 数列の収束と発散
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基本 例題 018 数列の収束とE-N論法の段階的考察
すべての自然数nに対してb,≠0 である数列{bm} が収束して, limbm=B,B≠0
n100
が に収束することを証明せよ。
本基
とする。次のことを利用して、数列{1}
(i) 任意の正の実数に対して、 ある自然数 No が存在して, n≧N となるすべ
ての自然数nについて,|bn-β<sが成り立つ。
(n> No)
(i)ある自然数 N が存在して,n≧N となるすべての自然数nについて,
|bm-B< 21/2Bが成り立つ。
(税込)(8)
指針
E-N論法で,以下により
1
B-bn
|bm-B| イーモニ
bn
B
bnB |bnB\
が十分小さくなることを示す。
(i) を用いて,分子のbm-βがいくらでも小さくなること (1)
(i) を用いて、
1
bal
が上に有界であること
(1)
解答 n→∞のときBであるから,十分大きい自然数 N に対して,n≧N となる
すべての自然数nについて、1bB 12/13が成り立つ。
このとき,n≧N ならば
131-161=10-B11/131
よって1/181<100116-1-1月では??
これとβ≠0 より ならば
1
2
<
となる。
|bn| B
更に、任意の正の実数をとる。
このとき,十分大きい自然数 No に対して,n≧N となるす
α6を実数とすると,
三角不等式
a+ba+b
が成り立つ。
変形して
|a+6|-|a|≧|6|
a+b=c とすると
|c|-|a|≦|c-al
となる。
べての自然数nについて|bm-31<181
が成り立つ。
11.
B-bnbn-BI
bn
Ibn B
2
ここで,N=max {No, Ni} とおくと, n≧N ならば, n≧No
かつ≧N であるから以下が成り立つ。
1/1-18-01-106-81-216-812 18
■ max {No, Ni} は,No
1312
と N1 のどちらか小さ
くない方を選ぶ。
B12
B1 2
E=E
ゆえに、数列{1} は 1/1
に収束する。
B
検討 この問題では「すべての自然数nに対して 6,≠0」 が仮定されていたが、その仮定を外しても
1
bn B
は証明できる。 その場合、数列{6} は B0 に収束するが、途中で0になる可能性
はある。したがって,十分大きい番号nを考えて, b がBに十分近づくようにし,bm0 を保
証してから収束を議論する必要がある。
