距離空間 (X,d) において、任意の点 a∈X に対して、関数 x→d(x,a) が X で連続であることを示せ。 どう示せばいいのかよく分かりません。。 教えて下さい！

n個の確率変数X_1，X_2，……，X_nについて E(X_1+X_2+……+X_n)=E(X_1)+E(X_2)+……E(X_n) の証明を教えてください。E(X+Y)=E(X)+E(Y)を一般化したやつです。

問2で、なぜ∫sinx.sin(n乗ー1)となるかがわかりません。

ホエルオ ンメル 口3e3パクー 30 第3章 定 積 分 例題3-7 (定積分と漸化式) cos"xdx とお π |, 2 sin"xdx, Ja= |。 n=0, 1, 2, …………に対して, I,= 次の(1), (2)を証明せよ。 I-u In-2 (n22) ノム=』 7 定積分と漸化式は応用上も重要であり頻出項目である。主に

出来るだけ詳しく教えていただけると嬉しいです。 よろしくお願いします。

問3 次の関係が成り立つことを証明しなさい。 /22+A dx (2+A+Alog|2+ V.r? + A|) + C ニ ただし, A+0, Cは積分定数。

初学者です。グラティエントの幾何学的意味について全く理解出来ないのですが、噛み砕いて説明できる方お願いします。

が成り立つ。他の成分も同様に示せる。 グラディエントの幾何学的意味 定理) グラテディエント Vf(r)は関数f (r) のrにおける傾きが最大の 向きを持ち,その大きさはその方向の変化率に等しい。 証明 点r=(x, y, 2) とr+Ar= (x+△x, y +Ay, z+Az) の f(r) の差を最低次で求めると Of Af= f(r+Ar) - f(r) Of 0x Of Az= Vf· Ar 02 Ax+ Ay+ Oy となる。したがって, f(r)の変化が最大になるのは, ArをVf(r) の向 きにとった場合であることがわかる。そのとき,▽f(r)|=となるか Af Ar ら,グラディエントの大きさは,その方向での変化率に等しいことも示さ れた。 グラディエントベクトル

この問題4.1の証明が分かりません。分かる方がいればお願いします。

問題 4.1 U1,…,U, をベクトル空間V の部分空間とするとき, U」+ U2+…+U, = {a」 + a2 +……+a,|a, e U,, i= 1,2, …,r} となることを示せ。 問題 4.2 U1,…,U,をベクトル空間Vの部分空間とする.次の条件が同値であることを示せ、 (1) Ui +…+U,が直和である。 (2) a1 + a2 +…+a, = 0 (a; E Ui) ならば aiは全て0である。 (3) 任意のiに対して,U;n (Ui +…+U,) = {0}.

幾何学の教科書 定理6.9はどうやったら証明できるでしょうか… (３辺がそれぞれ等しいは使えない)

H とする g G *g O' に関 G [図6-15] 問題 6.2 補角定理を用いて,半直線 Oh が ZO(g, k)の内部にある場 と 合を証明せよ。 定理6.9 直線gを含む平面上で,直線9に関して2点P, Qが異なる 側にあり,かつ, g上の異なる2点 A, Bに対して, AP = AQ, BP =D BO ならば,ZABP= ZABQ となる。 P 9 A Q [図6-16]

C*はC(I)の閉部分集合であることの証明が分かりません。よろしくお願いします

I= {r€R||x - rol Se}上で定義された連続関数 4(x) で, max |p(x) - 0|S Ke TEI を満たすもの全体の集合を C* とおく。

これについて教えていただけたら幸いです。 前半はfA＋fB＝fA＋Bと定義して、その定義を用いて、定理の部分を証明するという方針が 一見して浮かんでいるのですが、正しいかわからないです。 後半は検討がつかないです。

III-c) 行列 A, Bから定まる線形写像 fA, fe に対して,その和 fa+ fe が定義されるな らば,それは行列A+Bから定まる線形写像 fA+Bに一致することを示せ また,合成 fBofa が定義される場合ではどうか.これはいかなる行列によって定められ る線形写像となるか考察せよ。

どのように証明すればいいのか分かりません。。 教えて下さい！

問題.r€R", r>0を任意にとる.A= {y€R" | d(x, y) > r}とするとき,Aが R" の開集合であることを示せ、ただし,ユークリッド距離 d に関する三角不等式を用いて 良い。