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第1章
1変数の微分積分
例題1 (関数のグラフ, 数列)
x を非負の実数,r0r<1 を満たす実数とし, 関数f(x) を
f(x)=xr* と定義する。 このとき、 以下の問いに答えよ。
df
(1) f(x) の導関数 および第2次導関数
dx
d2f
dx2
を求めよ。
(2) f(x)の増減表を書き、関数y=f(x)のグラフの概形を描け。
(3) n を正の整数とし, 数列 {a} の一般項を an=f(n-1) により定義
する。このとき,初項から第n項までの和を求めよ。
<東北大学工学部〉
◆アドバイス!
(ax)' = a *loga
証明は簡単!
解答 (1) f(x)=xr* より
f'(x)=1·r*+x.r*logr= (xlogr+1)r*
・〔答〕
公式:
また
f" (x) = logror*+(x logr+1)*logr
= logr(xlogr+2)r* ・〔答〕
(2) f'(x) = (xlogr+1)*= 0 とすると
1
x=
(>0)
logr
f" (x) = logr(xlogr+2)*=0 とすると
x=-
2
logr
(>
logr
よって, 増減および凹凸は次のようになる。
x
f'(x)
f" (x)
1
2
(+8)
logr
logr
+
0
-
0
+
y=α とおくと
logy = loga
=x loga
両辺を微分すると
y
y'=loga
..y'=aloga
f" (x) 凹凸:
f" (x) ・f'(x) の変化
f" (x) > 0
接線の傾き
⇒接線の傾きが増加
グラフは下に凸
y=f(x)
したがって
(3)
an=
k=1
この
S=
SS
rs=
2
f(x)
0
rlogr
logr
2
2r logr
logr
(0)
