［指針］で 条件f'(x)=|e^x-1| から、f(x)= |e^x-1| dxとすることはできない。とあります。何故出来ないのですか？

重要 例題 131 導関数から関数決定 (2) 00000 | 微分可能な関数 f(x) f'(x)=lex-1 を満たし, f (1) =eであるとき,f(x)を 求めよ。 基本130 |指針 条件f'(x)=ex-1から,f(x) = flex-1/dx とすることは YA できない。まず 絶対値 場合に分けるから x>0のとき f'(x)=ex-1 x<0 のとき f'(x)=-(ex-1)=-ex+1 x0 のときは,A と条件f(1) =eから f(x) が決まる。 しかし, x<0のときは, 条件f(1) =eが利用できない。 そこで, 関数 f(x) はx=0で微分可能x=0 で連続 (p.106 基本事項 1② に着目。 | limf(x) = limf(x)=f(0) を利用して, f(x) を求める。 x+0 -0 + 0 10 y=ex-1 2 3 x>0のとき, ex-1>0であるから 解答 よって f'(x)=ex-1 導関数f'(x) はその定義 f(x)=f(ex-1)dx=ex-x+C (Cは積分定数) から,xを含む開区間で 扱う。 したがって,x>0, f (1) =e であるから e=e-1+C したがって f(x)=ex-x+1 x<0 のとき, ex-1 < 0 であるから ゆえにC=1 ① x<0の区間で場合分け して考える。 f'(x)=-e+1 よってf(x)=f(-e*+1)dx =-ex+x+D (Dは積分定数) ...... ② f(x) はx=0で微分可能であるから, x=0で連続である。f(x)は微分可能な関数。 ゆえに limf(x) = limf(x)=f(0) x+0 ①から ②から よって x-0 limf(x) = lim(ex-x+1)=2 x+0 x+0 limf(x) = lim(-ex+x+D)=-1+D 011X x-0 2=-1+D=f(0 ゆえに D=3 したがって f(x)=-ex+x+3 必要条件。 このとき, lim ex-11から 逆の確認。 p.121 も参照。 x→0 x lim f(h)-f(0) eh-h-1 = lim =0, ん→+0 h ん→+0 h lim (1-1) lim h→-0 f(h)-f(0) h 0114 -e+h+1 h よって, f'(0) が存在し, f(x) はx=0で微分可能である。 =lim =0 ん+0 h limf(e^-1)+1} h--0 h 以上から '(x) = { e e-x+1 (x≧0) OET -ex+x+3 (x < 0) 練習 ④ 131 x>0 とする。微分可能な関数f(x)がf(x)=1/12 を満たし,f(2)=-log2で あるとき, f(x) を求めよ。

（3）の（ⅰ）についてです。一枚目が問題、二枚目が解答、三枚目が自分が書いたものです。 答えは合っていたのですが、場合分けしていなかったので減点されました。 確かに点Pでの極値が極大値になることを増減表を書いて示さなかったのもあると思うのですが、なぜ−Pと0と1の大小関係で... 続きを読む

p, gを実数とし, 関数f(x) を f(x)=x^+ax²-2x+2 ( とする.また, f (1)=0が成り立つとする. (1)g を用いて表せ. (2)=1のとき, f(x)の増減を調べ, f (x) の極値を求めよ. (3) f(x)が0<x<1においてただ1つの極大値をもつとする. (i) り得る値の範囲を求めよ. (ii) f(x)の0<x<1の範囲における極大値を与えるxの値をtとし、3点(0, 0), (1, f(1)), (t, f(t)) を頂点とする三角形の面積をSとする. pが (i) で求めた 範囲を変化するとき, Sが最大となるかの値を求めよ. ただし、3点(0,0), (a, b), (c, d)を頂点とする三角形の面積は -lad-bc であることを用いてよい。 //lad

［71］の解答で、増加するための条件は0≦x≦1のとき、f’(x)≧0 ではなく、0<x<1の時、f’(x)≧0としているのは何故なのかをこの前、質問したところ、定義域の端では微分が出来ないから。 という解答をいただき、その時は納得したのですが、［72］の解答を見ると、f... 続きを読む

数3微分の問題です。(1)、(2)ともにわからなくて、(1)は青いラインのところ，(2)は平均値の定理を用いずに赤で囲った操作をする理由がわからないので教えてください。よろしくお願いします。

✓ 165 次の関数について, f'(x)=0を満たすx は存在するか。 (1) f(x)=xcosx π 0≦x≦ (2) f(x)=1-x-2 (1≦x≦3) 2人

数3極限の問題です。解説の青いライン{f(4)を入れるところ}が分からないので教えてください。幅1の閉区間と問題に書いてあるので-3~2まで調べれば求められるのでは?と考えました。

f(x)=x は 0<x<3 の範囲に少なくとも3個の実数解をもつことを示せ。 ✓ 116 次の方程式の実数解の存在する区間をすべて求めよ。 ただし, 区間は幅1の 開区間とし,その両端は整数値とする。 (1) 2x3+3x2-12x-3=0 *(2) x+x²-2x-1=0 永 (g)

青線を引いたところなのですが、なぜ0<x<1の時のことを考えるのでしょうか。また、積分区間は閉区間内で考えるじゃないですか。等号が成り立たないのは開区間の時だけなのに、②の式ではイコールがつかないのはなんでですか？ すいません。わかりにくいかもです。

232 基本 例題 145 定積分と不等式の証明 (1) 00000 1 が成り立つことを示せ。 (1) 0≦x≦1 のとき,不等式 1+x2=1+x4 1 So (2) 不等式 x1 を示せ。 CHART & SOLUTION [類 静岡大] p.230 基本事項 2 (2)これまで学んできた知識では 1 1+xdx の計算ができない。そこで f(x)≧g(x) ならば f(x)dx≧Sg(x)dx (等号は、常に f(x)=g(x) のときに成り立つ ) を(1)の結果に適用する。定積分=その定義域である関区間内に含まれる 閑区間を指定して定する 解答 (1) 0≦x≦1 のとき (1+x2)-(1+x)=x2(1-x2)≧0 x20,1-x2≧0 よって 1+x2≧1+x>0 ゆえに 1+x2 1+x4 (2)(1) から, 0≦x≦1のとき 積分区間がOcx 1 1+x2 1 1+x4 ① ただし, 0<x<1 のとき ①の等号は成り立たない。 1+x2 よってx Socx dx 4 ・② +Sr<St dx I= o1+x2 において, x=tan0 とおくと 1 == 1+x2 xと0の対応は右のようにとれる。 1+tan'=cos20, dx= 等号は成り立たない。 1 にはx=αtan 0 x²+a² cosig do xC 0 → 1 inf 本間では,(1)(2)の π 00->>> 4 I= ゆえにco50.com doS30-[0]-4 03²o ヒントになっている。 (2)の みが出題された場合は π == = = COS2 また Sdx-[x]- =1 これらを②に代入すると<<1 )(x)かつ Sof(x)dx=Sg(x)dx =1 を満たす f(x), g(x) を見つける必要がある。

ここでの逆の確認とは何を確認しているのですか？

重要 例題 131 導関数から関数決定 (2) 00000 | 微分可能な関数f(x) がf'(x)=lex-1 を満たし, f (1) = e であるとき,f(x)を 2 基本 求めよ。 0=(x)4 基本130 指針 条件f(x)=lex-1から,f(x) =flex-1|dx とすることは できない。まず、 場合に分ける から 絶対値 y=ex-1 p.22 2 x>0のときf'(x)=ex-1 A x<0 のとき f'(x)=-(ex-1)=-ex+1 x>0のときは,Aと条件f(1)=e から f(x) が決まる。 しかし,x<0のときは, 条件f (1)=e が利用できない。 そこで,関数f(x)はx=0で微分可能x=0で連続 (p.106 基本事項 ②)に着目。 =1 + 0 limf(x) = limf(x)=f(0) を利用して, f(x) を求める。 +0 X-0 f'(x)=ex-1 x>0のとき,e-1>0であるから 解答 よってf(x)=f(ex-1)dx=e-x+C (Cは積分定数) ...... ゆえに C=1 ① 240 = f (1) =e であるから e=e-1+C したがって f(x)=ex-x+1 x<0 のとき,ex-1<0 であるから 導関数f'(x) はその定義 から,xを含む開区間で 扱う。 したがって, x>0, x0 の区間で場合分け して考える。 以 よってf(x)=f(-exx f(x)=-x+1) =-ex+x+D (Dは積分定数) f(x)はx=0で微分可能であるから, x=0で連続である。 ゆえに limf(x) = limf(x)=f(0) x+0 x-0 limf(x)=lim(ex-x+1)=2 ①から x+0 x+0 ② から lim f(x)=lim(-ex+x+D) = -1 + D x-0 2=-1+D=f(0) f(x)=-ex+x+3 (1) AGR-C f(x)は微分可能な関数。 x-0 よって ゆえに D=3 したがって 必要条件。 ex- このとき, lim =1から 逆の確認。 121 も参照。 x→0 x f(h)-f(0) lim =lim ん→+0 h h→+0 e-h-1 h =0, ◄lim (1-1) f(h)-f(0) -e+h+1 lim = =lim =0 lim 0-14 h 0114 h =(-1)+1} よって、f'(0)が存在し,f(x)はx=0で微分可能である。の(1) 以上から e-x+1 f(x)= e+x+3(x<0) DET

(2)で解説2行目から定義域は閉区間なのになぜ開区間に直してから解いているのでしょうか。

基本 例題 79 関数の最大・最小 (2) (端点なども検討) 00000 次の関数の最大値、最小値とそのときのxの値を求めよ。 2(x-1) (1) y=x²-2x+2 〔東京女子医大〕(2) y=(x+1)√1-x2 〔類 長岡技科大〕 基本78 CHART & SOLUTION 最大・最小 増減表を利用 極値と端の値に注目 (1)x2-2x+2=(x-1)2+1>0 から, 定義域は実数全体 ( ∞ <x<∞)。 よって、端の値としては lim yにも注目。 解答 ∞ (1) y' = 2(x²-2x+2)-2(x-1)(2x-2) (x²-2x+2)2 2x(x-2) 分母は常に正。 (x²-2x+2)2 y'=0 とすると x=0,2 <+2x(x-2)=0 の増減表は右のように x ... 0 28 なる。 y' - 0 + 0 また lim y= 0, limy=0 極小 |極大 20 y A x x2 > -1 X11 よって, yは 1 ←y= から。 2 2 1- + x2 (1) YA -1≤x≤1 最大 12 x=2で最大値 1, x=0 で最小値-1 をとる。 (2)関数yの定義域は, 1-x2≧0 から -1<x<1のとき -2x y'=1.√1-x2+(x+1)- == 2x2+x-1 √√1-x2 1 2√1-x2 (x+1)(2x-1) √1-x2 便 0 -1最小 y'= 0 とすると x= 2 X yの増減表は右のように なる。 よって,y は J x. -1 ... + 12 0 極大 y 20 3√3 73√3 x= で最大値 4 4 x=±1 で最小値 0 をとる。 > (2) y 1 大 3√3 最大 0 最小 0 11 +12 2 最小 1 x

画像の下線部を引いたところについて質問なのですが、なぜ開区間にする必要があるのですか？ （閉区間のままではダメですか？）

応用 例題 関数 f(x) =|x-3|√x の極値を求めよ。 9 解説を見る 解 この関数の定義域は x≧0 である。 (i) 0x3のとき, f(x)=(x-3)√x であるから, 0<x<3において, f'(x)=-1.√x-(x-3)=3(x-1) 2√x 2√x f'(x) = 0 とすると, x=1 (i) x>3 のとき,f(x)=(x-3)x であるから, x3 において,f(x)=(x-1)>0 2√x したがって、f(x)の増減表は次のようになる。 x 0 ****** 1 ・・・・・・ 3 ***** f'(x) + 0 - f(x) 0 よって, f(x) は, |極大 2 + 極小 7 0 x=1のとき, 極大値2, x=3のとき, 極小値0 をとる。

f(x)と区間ってどうやって分かるんですか?😭二問目こf(x)はだいたい予想つくんですけど1問目はなんでe^xなのか分からないしどっちの問題も区間はさっぱりです🥲🥲🥲🥲

SEISE 8A) □175 次の不等式を平均値の定理を用いて証明せよ。 ✓ a a > 0 のとき a<eª -1<aeª (*) (2)0 <α <B<のとき 0 <cosa-cosβ <β-a