-
![]()
EX
重要 例題 110 領域と最大 最小 ( 2 )
00000
座標平面上の点P(x, y) が 4x+y≦9 x+2y≧4,2x-3y≧-6 の範囲を動
くとき,x2+y2の最大値と最小値を求めよ。 [類 京都大 ]
177
とする。
1kg
るには、
基本
基本106
CHART & SOLUTION
10
領域と最大 最小
•
図示して,=kの曲線の動きを追う
172 基本例題106 と考え方, 手順は同じ。 まず, 3つの不等式の表す領域Dを図示し,
x2+y2=kが表す図形が領域Dと共有点をもつようなんの値の範囲を調べて, 最大値・最小
値を求める。
上
3章
10
15
与えられた連立不等式の表す領域D
-y
は, 3点A(2, 1), B(0, 2), (12/23)
B(0,2) C(2,3)
境界線の交点 A, B, C
の座標はそれぞれ次の
14
を頂点とする三角形の周および内部
である。
連立方程式を解くと得
られる。
A(2, 1)
4x+y=9
(A).
x+2y=4
x2+y=k(k>0)
① とおくと,
x+2y=4
①は原点を中心とし、半径の
円を表す。 この円 ①が領域Dと共
有点をもつようなんの値の最大値と最小値を求めればよい。
O
(B)
2x-3y=-6
不等式の表す領域
2x-3y=-6
(C)
4x+y=9
図から、円が2
3 を通るとき,kは最大で
k=OC2=
C²=(3)²+3²=45
32
また,図から円 ①が直線 AB:y=-212x+2
② に接
別解 (最小値について)
①,②からxを消去すると
5y2-16y +16-k=0... ③
円 ①が直線② に接するた
めの条件は,判別式をDと
すると D=0
するとき, kが最小になる。
109
=(-8)²-5(16-k)
接点の座標は,原点を通り直線 ②に垂直な直線 y=2x と,
=5k-16
直線 ②の交点であるから(x, y) = (1/31
8
5
(x,y)=(1/3.4)であるから k=10
16
5
このとき, ③の重解は
円 ①がこの点を通るとき, kは最小で
ラ
4 \2
8\2 16
k=1 +
5
5
よって, x+y2 はx=
23, y=3のとき最大値をとり
よって、②から1
4
したがってx=1/23
16
8
x=1/13, y=1/3のとき最小値
-
5
をとる。 y=1/3
8
16
y=1のとき最小値・
5
PRACTICE 110°
