基本 例題
52 2次方程式の解の存在範囲
2次方程式 x2-2px+p+2=0 が次の条件を満たす解をもつように、定数の
値の範囲を定めよ。
(1)2つの解がともに1より大きい。
(2)1つの解は3より大きく,他の解は3より小さい。
指針
2次方程式 x2-2px+p+2=0の2つの解をα,βとする。
(1)2つの解がともに1より大きい。 → α-1>0 かつβ-1>0
p.87 基本事項 2
(2)1つの解は3より大きく,他の解は3より小さい。 → α-3とβ-3 が異符号
以上のように考えると, 例題 51 と同じようにして解くことができる。なお, グラフを
利用する解法 (p.87 の解説) もある。 これについては、 解答副文の別解 参照。
2次方程式x2-2px+p+2=0の2つの解をα,βとし,判別解 2次関数
解答別式をDとする。
D =(-p)² - (p+2)= p²-p-2=(p+1)(p-2)
4
解と係数の関係から
a+β=2p,aß=p+2
(1) α>1,β>1であるための条件は
D≧0 かつ (α-1)+(β-1)>0 かつ (α-1) (β-1)>0
D≧0 から
よって
(p+1)(p-2)≥0
p-1,2≦p
......
(a-1)+(β-1)>0 すなわち α+β-2>0 から
2p-2>0
よって>1
......
f(x)=x2-2px+p+2
のグラフを利用する。
(1) 2 =(p+1)(p-20,
軸について x=p>1,
f(1)=3-p>0
から 2≦p<3
YA
x=py=f(x)
②
3-p
+
a
1
B
x
(α-1)(-1)>0 すなわち αβ- (α+β) +1>0 から
p+2-2p+1>0)
89
2
2章
解と係数の関係、解の存在範囲
よって
<3
③
たす
1-
求めるかの値の範囲は, 1, 2, (SF
(0.
(2)_f(3)=11-5p < 0 から
11
③の共通範囲をとって
123 P
2≤p<3
の解は
(2) α<β とすると, α <3 <βであるための条件は
(a-3)(B-3)<0
題意から α =βはあり
えない。
すなわち αβ-3(a+β)+9 <0
250
ゆえに p+2-3・2p+9 < 0
よって
11
p>
5
