97(1)についてです。 私の答案に不備があったら教えていただきたいです。

►►►►HITUNG MÁS Ons is 97 nが自然数のとき,次のことが成り立つことを数学的帰納法を用いて証 JP BO 明せよ。 □(1) 6 +1+72-1は43の倍数である □ (2) n3+5㎖は6の倍数である 出る目の差の絶 ・教 p.40 応用例題19

(2)の解説の矢印で示した部分の式変形がよくわかりません。どなたか解説していただけないでしょうか！🙏

958nが自然数のとき,数学的帰納法を用いて,次の等式を証明せよ。 コ(1) 1+2+3++n=1/12/n(n+1) 口 (2) 1 (1-1/2)+(1/38-141)+(1/8/1/1) -)+.... 5 6 ·+· = 1 n+2 1 n+3 ·+· 1 n+1 □ (3) 1・2+2.22 +3.2°+......+n2"=(n-1)2" +1+2 1 n+n + + + 1 1 2n-1 2n 教p.38 例題

数学的帰納法による不等式の証明の問題です。赤線の部分がどうやって出てきたのか分かりません。解説お願いします🙇‍♀️

B (2) # Ford li | 263 次の不等式が成り立つことを,数学的帰納法によって証明せよ。 (1) #86 *(1) nが自然数のとき 12+2+3+......+n²< (n+1) ³ 3 LEGATE 4

模範解答と異なるのですがこの解答でも大丈夫ですか？

必解 249. <exに関する不等式〉 nを自然数とする。 (1) x>0 のとき, 不等式 ex> 1+x が成り立つことを示せ。小ちも大 (2)x>0 のとき、次の不等式が成り立つことを数学的帰納法を用いて示せ。 2 xC e* > 1 + x + x² + 1!2! xn ex ✓ (3) 極限値 lim x→∞ ...... +xn n! (n=1,2,3,......) を求めよ。 [13 同志社大]

（４）青い線のところの合同式よく分からないので教えてください。ak+4≡-akは分かります。-ak≡-4はak≡1の両辺に-1を掛けているんですか？

【解答】 (2) ①から 2. 数列{an} はすべての自然数nについて Σax = 10 a² + 1⁄2ª₂ − 3 an- k-1 (1) とする.①にn=1 を代入すると をみたす. 以下の問に答えよ. (1) a1 をすべて求めよ. (2) a1 を an を用いて表せ. (3) α = 11 となる組 (a1, az, a) を 1つ求めよ. (4) a=2023 となる自然数nは存在しないことを示せ. Σax = 10 ₁² + 1/2a₁-3 ak= ① 2. k=1 a₁ = 10 a ₁² + 1 1/2 α₁ - 03/30 ar ②① より ai²-5a-6=0 (a1+1)(α1-6) = 0 a=-1,6 #+1 Σax = 10 an+ 1 ² + 1/2an+1 - 3/ k=1 - + n+1 Σak- -Σak = 10 +1² + 1/2+1-3 - (10 a² + 1/2a₂ − ³ ) k=1 k=1 an+1² an+1 = ants 1/10am-12-110422+1/12/200-1-12/20m -an² ゆえに an+1=-a" または an+1=an+5 (3) α411となる例の1つとして an an+1²-an²-5an+1-5an=0 (an+1+an)(an+1-an) - 5(an+1+an)=0 (an+1+an)(an+1-an-5)=0 an+1+an = 0 または an+1 -an-5= 0 a=-1, a2=-a1=1, a3=a2+5=6,a=a3+5=11 がある.ゆえに、求める組 (a1,a2,a3) の1つは (答) 2 (a1,a2,a3)=(-1,1,6 (4) 以下の合同式は5を法とする. すべての自然数nについて 「an=1,4」 であることを数学的帰納法で示す. (I) a1=-1,6であり, -1=4,6=1であるからn=1のとき③は成り立つ. (ⅡI)n=kのとき③が成り立つとする. = 1 ならば, ak10-14 または ak+1 = ak+5=6=1 ak4 ならば,k+1=-ak-4=1 または k+1=ak+5=9=4 ゆえに,n=k+1のときも③は成り立つ. 【解説】 1° 【解説】 1° 【解説】 2° 【解説】 3°

数学的帰納法の問題です。 自分で途中まで解いてみたのですが合ってるかすら分かりません。 詳しく解説して欲しいです！

演習 4: 帰納法 ③ 推測して帰納法 2 ≤ n を満たす正の整数n をすべて求めよ。

(3)で2枚目青マーカー部分が分かりません…

第60題 数と論理 整数と論証 [1] ノートを使って取り組もう! ★★★★ ●わからないときは解答解説ページの 「解答の指針」を見てから解いてみよう。 1 次の問いに答えよ。 □ (1) 5以上の素数は, ある自然数n を用いて 6 +1 または 6n-1の形で表されることを 示せ。 □ (2) Nを自然数とする。 6N-1は, 6n-1 (nは自然数) の形で表される素数を約数にも つことを示せ。 □(3) 6-1 (nは自然数) の形で表される素数は無限に多く存在することを示せ。 ('09 千葉大医)

写真の問題の赤線部についてですが、なぜn≧1と書く必要があるのでしょうか？ その上の行でΣとCをすでに使っていますが、ΣとCのnの部分は定義から、n≧1だから、赤線部の前にn≧1という条件はすでに考慮してるのではないのでしょうか？解説おねがいします。

基礎問 P 44 はさみうちの原理(I) 次の問いに答えよ. (1) すべての自然数nに対して,2"> n を示せ. AOAO k-1 (2) 数列の和 S. = 2 (1) anで表せ△〇〇〇 k=1 (3) lim Sm を求めよ. △△△△ n→∞ |精講 (1) 考え方は2つあります。 I. (整数)” を整式につなげたいとき, 2項定理を考えます. PROCE (数学ⅡI・B4 ⅡI. 自然数に関する命題の証明は帰納法 (数学ⅡI・B 136 Fet (2) Σ計算では重要なタイプです. (数学ⅡB 120 S=Σ(kの1次式) k+c (r≠1) は S-S を計算します. (3) 極限が直接求めにくいとき, 「はさみうちの原理」という考え方を用います. bn≦an≦en のとき limb=limcn = α ならば liman=α n→ 00 n→∞ n→∞ この考え方を使う問題は,ほとんどの場合,設問の文章にある特徴がありま す. (ポイント) どういう意味? 解答 (1) (解I)(2項定理を使って示す方法) n (x+1)=2nCkck に x=1 を代入すると k=0 2"=nCo+nC1+nC2+..+nCn ¹) n=1 F²³5, 2²nCo+nC₁=1+n>newhere 2">n ( 解ⅡI) (数学的帰納法を使って示す方法 ) 2"> n (i) n=1のとき 左辺=2,右辺=1 だから, ①は成りたつ

数B漸化式 (3)について、3枚目の写真1行目のふたつの式はどのように導かれたのか分からなかったので教えていただきたいです。

☆3つがルーティーン 269 関数の列{f(x)} を次の関係式で順次定める。 fi(x)=x+1, fn+(x)=ト {(x−1)f(x)} (n=1, 2, 3, …) ☆微分してねという意味 d dx (1) ofz(x), f(x) を求めよ。 0 (2) すべての自然数nについて、f(x)が1次関数であることを示せ。 [17 関西大] (3) fn(x)=anx+6m とおくとき, an, bn を求めよ。

質問失礼します (2)なんですけどどうやったらn＝k+1の時左辺の最後に(2k+1)(2k+2)が出るのですか。

(k+1)(k+2). (2k) S+ (+)=2 13 S+E:1 I (2k-1) が成り立つと仮定すると,n=k+1 のときの (A) の左辺は (k +2)(k +3)...･････(2k). (2k+1)(2k+2) 2･1･3･5........ (2k-1). (2k+1)(2k+2) k+1CL 1+ASI14 2・1・3･5･…………(2k-1). (2k+1)･2(k+1) k+1 SS+) =2k+1.1.3.5........ (2k-1)(2k+1) n=k+1のときの(A) の右辺は 2k+1.1・3・5･････ (2k-1){2(k+1)-1} =2k+1.1.3.5........ (2k-1)(2k+1) よって, n=k+1 のときも (A) が成り立つ。 [1], [2] から,すべての自然数nについて (A) が 成り立つ。 す [1], 成り (2) [1 [2]