えを0でない複素数とする。zが不等式2<z+-
在する範囲を複素数平面上に図示せよ。
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ハ10 を満たすとき, 点zが存
重要5
指針> 2<z+
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<10 と不等式で表されているから, z+
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は実数である。
そこで,まず
が実数→ ●=(
を適用して導かれる条件式に注目。
なお,z+
の式であるから, 極形式を利用する方法も考えられる。
別解
解答
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は実数であるから
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別解 2=r(cos0+isin0)
(r>0, 0S0<2元) とすると
ス+
=2+
る
よって +
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ゆえに a+16z=2|z}+16z
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ス+
る
=2+
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Icos 0
(z-z)|2f-16(zー2)%30
(z-2)(laf-16)=0
(z-2)(|z|+4)(la|-4)=0
または |||=4
[1」 2=z のとき, zは実数である。
よって
ゆえに
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+lr-
|sin@
よって
したがって
2|>0から,
|||=-4は不適。
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マ+
は実数であるから
2ー2
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rー
r
=0 または sin0=0
2<z+
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が成り立つための条件はz>0 であり,このとき
すなわち
r=4または0=0
または0=π
[1] r=4のとき
(相加平均)2(相乗平均)により
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=8
る
ス+-
22,
(等号はz=4のとき成り立つ。)
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ス+
-=8cos0
る
すなわち, 2<z+
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は常に成り立つ。
よって, 2<8cos 0<10 と
-1Scos0<1から
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る>0のとき,z+
ハ10を解くと, z?+16<10zから
る
-ハ cos0S1
(2-2)(z-8)50
2] |2|34のとき, 点々は原点を中心とする半径4の円上に
したがって
2<S8
[2] 0=0 のとき
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ス+
=r+
る
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ある。22=4° であるから
=ス
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