Question

晴

数3 複素数平面
問題の囲った部分です。何を言ってるかは分かるのですが、なぜこのような事をしたのかが分かりません。zの範囲を求めたいとなった時にどういった考えでこのような手順を踏んだのか教えて欲しいです。

えを0でない複素数とする。zが不等式2<z+-
在する範囲を複素数平面上に図示せよ。
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ハ10 を満たすとき, 点zが存
重要5
指針> 2<z+
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<10 と不等式で表されているから, z+
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は実数である。
そこで,まず
が実数→ ●=(
を適用して導かれる条件式に注目。
なお,z+
の式であるから, 極形式を利用する方法も考えられる。
別解
解答
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は実数であるから
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別解 2=r(cos0+isin0)
(r>0, 0S0<2元) とすると
ス+
=2+
る
よって +
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ゆえに a+16z=2|z}+16z
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ス+
る
=2+
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Icos 0
(z-z)|2f-16(zー2)%30
(z-2)(laf-16)=0
(z-2)(|z|+4)(la|-4)=0
または |||=4
[1」 2=z のとき, zは実数である。
よって
ゆえに
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+lr-
|sin@
よって
したがって
2|>0から,
|||=-4は不適。
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マ+
は実数であるから
2ー2
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rー
r
=0 または sin0=0
2<z+
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が成り立つための条件はz>0 であり,このとき
すなわち
r=4または0=0
または0=π
[1] r=4のとき
(相加平均)2(相乗平均)により
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=8
る
ス+-
22,
(等号はz=4のとき成り立つ。)
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ス+
-=8cos0
る
すなわち, 2<z+
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は常に成り立つ。
よって, 2<8cos 0<10 と
-1Scos0<1から
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る>0のとき,z+
ハ10を解くと, z?+16<10zから
る
-ハ cos0S1
(2-2)(z-8)50
2] |2|34のとき, 点々は原点を中心とする半径4の円上に
したがって
2<S8
[2] 0=0 のとき
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ス+
=r+
る
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ある。22=4° であるから
=ス
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