基本 例題 62
最大・最小から係数の決定 (2)
00000
a0 とする関数f(x)=ax2-2ax+b (0≦x≦3) の最大値が9,最小値
が1のとき、定数α, bの値を求めよ。
CHART & THINKING
2次関数の最大・最小 基本形 y=a(x-p)+αで考える
基本 61
最大・最小の問題であるから,まずは基本形に変形しよう。 軸の位置がわかったら、次に
グラフの概形をかいてみよう。 その際, 前ページの INFORMATION のように,
グラフが上に凸か下に凸か
を意識するようにしよう。
軸と定義域の端点との距離
解答
f(x)=ax2-2ax+b
とき
軸
まず, 基本形に変形。
=α(x²-2x)+6
(3)
最大(3)
=α(x²-2x+12-12) +6
合
=a(x-1)2-a+ba
f(0)
(1, -a+b),
y=f(x) のグラフは下に凸の放物線と
なり,0≦x≦3 の範囲でf(x)は, x=3x=0x=1
で最大値, x=1で最小値をとる。
f(3)=3a+b,f(1)=-α+6であるから
最小(1)
軸(x=1)は定義域内の
左寄り。
x=3
←軸から遠い端で最大,
頂点で最小。
中
_3a+b=9, -a+b=1
これを解くと
a=2,6=3
これは α>0を満たす。
を考える。 αの条件の確認。
HINFORMATION
- a > 0 の条件がない場合
上の例題で「α>0」 という条件がない場合は,xの係数αのとる値によって, グラフ
の形が変わってくる。 そのため,α=0 (直線) α<0 (上に凸の放物線) の場合も考え
る必要がある。 →p.128 EXERCISES 61 参照。
a=0 のとき, f(x)=b (一定) となり条件を満たさない。
a<0 のとき, y=f(x) のグラフは右の図のようになり、
x=1で最大, x=3で最小となる。
[a<0]
最大 f(1)
f(0)
よって
-a+b=9,3a+b=1
これを解いて
a=-2,6=7
x=0x=1
最小 f (3)
x=3
