フォーカスゴールドの問題なのですが、問題文の意味から分かりません。解説をお願いしたいです、、。

は、 保 Check 例題 243 互いに素な自然数の個数 力を自然数とする。(m≦nでmとnが互いに素である自然数mの個数 *** をf(n)とするとき,次の問いに答えよ. (1) f(15) を求めよ. (2) f(pg) を求めよ.ただし, b, q は異なる素数とする. (3) f(p) を求めよ。ただし、pは素数,kは自然数とする。(名古屋大・改) 考え方 (1) 15 であるから, f(15) は, 15以下の自然数で15と互いに素,つまり,3の倍 ま数でも5の倍数でもない自然数の個数を表す. (2) は異なる素数であるから、 と互いに素である自然数は,かの倍数でもgの 倍数でもない自然数である. 互いに素である自然数は,かの倍数でない自然数である。 よって (3) 解答 (1) 15=3.5 であるから, 15と互いに素でない自然数, すなわち, 3の倍数または5の倍数であり, 15以下の より、自然数は, 3, 6, 9, 12,15, 5, 10 の7個である. よって, 15 と互いに素な自然数の個数は、 150 f(15)=15-7=8 その他の 練習 1 約数と倍数 Focus 13 NE-A 実は (2) p, gは異なる素数であるから, pg と互いに素でな い自然数, すなわち, pの倍数またはαの倍数であり、 pg 以下の自然数は, pq+10+1 Dの倍数 1p,2p,.... (g-1) p, pg ⑨個 ⑨の倍数 1・g, 2g, ..., (p-1)q, pq p の1個 pg の倍数 pg より, (q+p-1) 1 0103 よって, pg と互いに素な自然数の個数は, bb. f(pq) = pq-(g+p-1)-DALS)-(6-8-S (8) = pg-p-g+1=(p-1)(g-1) (3) p, 自然数であるから、が以下の自然数はがきが 個ある. この結果は素数であるから,以下の自然数での倍数 カー1(個) 「互いに素である」の 否定 「互いに素でな 「い」を考える. このf(n) をオイラー 関数という. (p.432 Column 参照) (1)を一般的に考える. p=3,g=5としてみ ると見通しがよくなる. pq÷p=q (1) pg÷g=p(個) は全部で, したがって f(p") = pk-pk-1 ES AICI IT TO .80 (85)5√3 ST=N 、電 互いに素である自然数の個数は、補集合の考えを利用せよ SON YASSKOR LUSHAJAJ 例題243のf(n) について次の問いに答えよ.ただし, p q は異なる素数 ( ^^)とする 431 第8章

下の方で矢印で示した式変形がどうも上手くいきません。どなたか途中式を示して頂けないでしょうか。

Check 例題 298 (1) bn= a=8, an+1= 解答 考え方 (1) (α>β) の値を求めよ. (2) 数列{an}の一般項an を求めよ. TA {bn}が等比数列になるのは, bn+1=rb, (公比r) と表されるときである.そのた めに, bn+1 を考えて, これを漸化式を利用して α で表してみる. (2) (1)で導いた {bn} を利用して一般項を求める. (1) bn+1= によって定義される数列{an}がある. an-β とおくと、数列{bn}が等比数列になるような,α, B an-a PRERAD .243 14 (668) ((2) 練習 [298] **** 分数型の漸化式 (2) 3an+2 an+2 = an+1-β an+1 - a mmmm 2-2a -α= 乗世界である003-4-B=23-28 3-β_3+1 3-43-2 つまり, 2-2β (3-B)an+2-2B3-Ban 3-B 部分が同じ形 (3-α)an+2-2a 3-a 2-2a an+ 3-B 3-a になれば, を 3-a したがって,数列{bn}が等比数列になるための条件は,公比として {bn} は 等比数列になる. この場合 α, B は, -x (3-x)=2-2x の2つの解であり, x2x-2=0 より, x=2, -1 a>より, α=2,β=-1 an+1 3 において、an-22 よって, 8+0 3 - に対し下また, b=a1+1 = 8+1 a₁-20-8-2 2 (1) bn= であり、これより = an= a1=2, an+1= 3an+2 an+2 3an+2 an+2 ・B a 6.4+8 3.4-8 an+B anta となり値を求めよ。 ・4n-1 3 漸化式と数学的帰納法 =4であるから, (1) より, bn+1=4bn 3x 23), b₂=2.4"-1 より, 3an+2-β(an+2) 3an+2-α(an+2 ) STAD **** (2) 数列{an}の一般項 αn を求めよ. 漸化式を用いるため bn+1 を考える. mm 特性方程式 (p.526 参照) x= 3x+2 x+2 より、 x2+2x=3x+2 (x-2)(x+1)=0 x=2, -1 と同じ解になる. 2(an+1) =3.4-1 (an-2) an= 6.4-1+2 3.4-1-2 6.4" +8 3.4"-8 4an+1 によって定義される数列{an}がある. 2an+3 とおくと,数列{bn}が等比数列になるような, α, B(α>B) の SENS 525 第8章 p. 566 30

解答の7行目からについてです。 -3のn-1乗が、-9分の1になる過程が分かりません。教えて下さい😭

532 第8章数 Check 例題 301 隣接3項間の漸化式 (2) 次まめう a=1,a2=2, an+2-6an+1+9an=0..... ① で定義される数列{an}の一般項an を求めよ. 考え方 列 (B) 特性方程式の解が α=β≠0 (重解) となる場合 (p.529) である. このとき, ①は, an+2-α an+1= α (an+1 - aan) つまり, {an+1-αan}は, 初項 αz-aa1, 公比 α のままの等比数列であることがわかる. an+2-6an+1+9an=0 解答 LOJ PEAR の等比数列であるから, an+1-3an=-3n-1) an+2-3an+1=3 (an+1-3an) したがって, 数列 {an+1-3an}は, 初項 α2-3a1=2-3・1=-1 公比 3 両辺を 3 +1 で割ると, an+1 an 3n+1 3n 4610 1 32 (a) 重解より、 解=3,3と考える!! ・①より, 9 4-1 3 3+1 +8= ***...) 3-31 3.39 *** ①より, x2-6x+9=0 (x-3)20 より、x=3 Ebn= 例題293 (p. 520) のタイプなので,両辺 を3 で割る. an 151 とおくと,

これらも関係詞ですが 後ろに完全文がくるとか来ないとか関係ありますか？

(関係詞 GW SH 2A 23 * 真家政学院 Section & She work32 076 LO Work に変わったと考える。 whoever, whatever, whichever の用法 whoever, whatever, whichever と それが導く名詞節の文全体での働き まずは確認 028 「節内での働き」と「文全体での働き」の両方を区別して考えること。 (1) whoever, whatever, whichever自体は,それが導く節内で主語・補語･目的語になる。 (2) whoever, whatever, whichever が導く名詞節は,文全体の主語・補語・目的語になる。 whomever は節内で目的語の働きをするときに使われるが, 現代英語では whomever なるべき場合でも whoever を用いることが非常に多い。 751 空所のあとの と Field 5 ボキャブラリー 16 発音・アクセント Reld

（3）についてです。なぜ1/3をかけるのでしょうか。

320 第8章 図形の性質 応用問題 AB=3,BC=6,CA=5である三角形ABC がある. 辺BC を 1:2 に内分する点をDとし. 三角形ACD の外接円と直線ABとの交点をEと E する. (1) BE を求めよ. (2) △ABC ADBE であることを示し, ED を求めよ. (3) 直線 AC と直線 DE の交点をFとすると き, EF を求めよ. 精講 これまで学んだいろいろな知識を活かして解いてみましょう.「連 想」をつないでいく図形問題の醍醐味が味わえるはずです. 解答 (1) BD:DC=1:2 であるから, BD= -1/1/2BC=1/1/6= 3 方べきの定理より, BD･BC=BA･BE であるから, 2･6=3･BE すなわち BE=4 (2) 円周角の定理より ∠ACD=∠AED したがって, △ABCと△DBE について, ∠ACB=∠DEB, ∠Bは共通 2つの角が等しいので、△ABC ADBE である. 対応する辺の比は等しいので, BE: ED=BC: CA ･6=2 4:ED = 6:5 すなわち ED = 10 @3 EA BC DF AB CD FE =1 =1 13 DF 3 2 FE DF: FE=2:1 なので. B 2D すなわち 10 10 EF-1/ED-11-1 33 9 3) 三角形 EBD と直線 AC に対してメネラウスの定理を用いると, 19-04-27 DF FE 4 A B 2 D E 93 B 5 6 1-A9 99-A E AF 整数は っている 程式と呼 121 整数と まず いった - 3.

数Aです この問題の(2) …②のところの ∠AHP=90°－∠BAH=∠ABH になる理由が分かりません 教えてください🙇‍♀️

練習問題 5 鋭角三角形ABCがある. 頂点Aから辺BCに下ろした垂線の足をHと 78 さらにHから辺AB, ACに下ろした垂線の足をそれぞれP, Qとす る。 (1) A, P, H, Q は同一円周上にあることを示せ . (2) P, B, C, Q は同一円周上にあることを示せ . この問題では, 「内接四角形の定理の逆」 を使ってみましょう。 あ る四角形の 「対角の和が180°」 であれば、 その四角形は円に内接 10 することがわかります. 練習問題4 (2)で見たように, 「対角の和が180°」 であ ることは 「ある内角がその“対角の外角” と等しい」ことと同じであることも 頭に入れておくといいでしょう. 新 主月 ハロ mm 解答 (1) APH + ∠ AQH=90°+90°=180°であるから, 内接四角形の定理の逆より、四角形 APHQは円 に内接する。 つまり, A, P,H,Qは同一円周上 にある。19/ (2) A, P, H, Q は同一円周上にあるので, 円周角 B' の定理よりもBARAの立 ∠AQP=∠AHP .......1 また, ∠AHB=90° ∠APH=90° より . TEA H ∠AHP=90°∠BAH=∠ABH....... ② B は、1つの頂点の内角がその 「対角の外角」 と等しいので、内接四角形の定 ①,②より,∠AQP=∠PBC. 四角形 PBCQ 理の逆より、四角形 PBCQ は円に内接する。 したがって, P, B, C.Qは 同一円周上にある。 313 問題です。 こういう問題では、｢結 う方向で考えていくといい の定理の逆が 第8章

図の楕円についてです。（x y）＝P（X Y）とおいてあるので、xy座標から-26.6°回転した場所にXY座標が引かれるような気がするのですが、なぜこのようになるのでしょうか。良ければ教えてください。

第8章 行列の対角化の応用 例題2 つぎの2次曲線の標準形を求め,曲線の概形をかきなさい｡ (2) x² - 4xy – 2y² = −6 (1) 5x24.xy + 8y2 = 36 (2) → 考え方 基本的には2次形式の標準形と同じように求めることができる. 5 IC 解答▷ (1) 方程式は、Az=(xy) (22) (4) - -2 8 -入 -2 =0 より (-4)(入-9) = 0 固有方程式 15-2- よって,固有値は入 = 4,9 と求められる. 8-A/ (i) 入=4 のとき 正規化した固有ベクトルは (ii) 直交行列 P= 1/12 (12) として、 z=Py,すなわち、(T)=P(Y) とおくと, √5 ¹x Az = 'y('PAP)y = (X_Y) (1 9) (¥) = 4X² +9Y² = 36 = 9 のとき 正規化した固有ベクトルは となる. よって, 図 8.1 のような 右理や YA 0 -2 図 8.1 3 = 36 と表される. X² y² 3² + =1(楕円)となる. 2² 1 V5 1 √5 (2²) X (答) + X2 y² 32 + =1, 図示した結果を図 8.1 に示す. 22 X Memo I 1 P = = 1/16 (²21) √5 cos 0 sin 0 - sin 0 cos A は原点まわりに8= 26.6° 程度の回転を表す行列. イ

例題253⑵で255のやり方をやるのはダメですか？ 初見でどっちかがいきなり出てきたら、どっちがどっちの解法ってわかるんですか？ 不定方程式です。

第8章 整数 例題 253 方程式の整数解 (1) 次の不定方程式の整数解を求めよ. (1) 2x-3y=21 考え方 (1) 2x-3y=21 を 2x = 3(y+7) と変形し、2と3は互いに素であることを利用する。 (2)xとyの係数に, 539=52×10+19 という関係がある. 解答 (1) 2x-3y=21 より, 2x=3(y+7) ・・・・・ ① ・① 2と3は互いに素であるから, xは3の倍数とな Focus (2) 52x+539y=19 る. したがって, kを整数として, x=3k とおける. これを①に代入すると, 2×3k=3(y+7) 2k=y+7 より, よって 求める整数解は, y=2k-7 よって, (2) 539=52×10+19 x=3k, y=2k-7 (kは整数) 2 (別解) 2x-3y=21 より, y=-x-7 yは整数より,xは3の倍数となる. したがって, x=3k (kは整数) とおけ。 y=2k-7 x=3k, y=2k-7 (kは整数) これを与えられた方程式に代入すると, 52x+ (52×10+19)y=19 整理すると 52(x+10y)=19(1-y) ...... ① 5219は互いに素であるから, x+10y は19の 倍数となり,kを整数として x+10y=19k, すなわち, x=19k-10y 52×19k=19(1-y) これを①に代入すると 52k=1-y より, y = -52k+1 よって, 求める整数解は, x=539k-10,y=-52k+1 (kは整数) xが3の倍数でないとき yは整数にならない。 xとyの係数の大きい方 の数 539 小さい方の乱 52 で割る. y=-52k+1 より、 x=19k-10y =19k-10(-52k+ =539k-10

（2）がわからないです。

問題 153 座標平面上に点A(3, 1)と直線l:y=2x がある. (1) 直線Zに平行な単位ベクトル を成分で表せ. ただし,uのx成分は正とする. (2) 点Aを通り,lに垂直な直線との交点をHとするとき OF を u で表せ. (3) 点Aの1に関する対称点をBとするとき, Bの座標を求めよ. 第8章

（2）の赤丸で囲ってあるところがわからないです。教えてください。

△ABCとその内部に点Pがあって, PA+3P+5PC=0 が成 りたっている。このとき, 次の問いに答えよ. (1) AP を AB, AC で表せ. 9 (2) 直線AP BCの交点をDとするとき, AP:PD, BD:DC を求めよ. (3) 面積比 △PAB: △PBC : △PCA を求めよ. 問題 148 第8章