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60 第8章 数列
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例題 257 既約分数の和
考え方
pは素数,m,n は正の整数でm<nとする.m
を分母とする既約分数の総和を求めよ.
具体的な数で考えてみる.たとえば,2と4の間 (2以上4以下)にあって,5を分
母とする数は,
Flocus
10 (-2), 11, 12, 13, 14, 15 (-3), 16, 17, 1
5
5
5
つまり, 2, 2+1/13, 2+1/23 2+10 となり,初項2 公差 1/3の等差数列にな
m以上n以下で』を分母とする数は、考え方を見る。
mp (=m), mp+1_mp+2
p
か
Þ'
つまり,初項m, 公差 1/3の等差数列となる。
項数np-mp +1, 末項nであるから, その和 S は, +02=
っている. 項数は分子に着目して 11 (=20-10+1) 個である.
これらの和を求めて、そのうち既約分数にならないもの(整数) を引くとよい。
......
整数の また、このうち, 既約分数でない数は,
m,m+1,m+2,
n-1, n
***
mとnの間にあって、
(同志社大)
S=1/12 (np-mp+1)(m+n) ……①
S₁2
S2=1/12 (n-m+1)(m+n).....②
==
=-
1
公差の等差数列
か
項数をkとすると
n=m+(k-1)} *),
k= (n-m)p+1 だから,
S₁={(n-m)p+1}
つまり,初項m, 公差1の等差数列であり、
Sx(m+n)
項数n-m+1,末項nであるから, その2は,としてもよい .
分母が素数であるから,
np-1 np ²(=n)
p' p
=1/12 (m+n)(n-m)(p-1)
5' 5' 5'5'5
よって 求める和Sは, ①, ② より
CRE 201
S=1/12 (np-mp+1)(m+n)-1/12(n-m+1)(m+n)
(m+n)(np-mp+1-n+m-1)
18 19 20 (4)
具体的な数で調べて規則性をみつける
注素数を分母とする真分数の和は
0>80+n8
(1-x)+08-SIA-
まずはすべての分数の
和を求める.
S=1/(数)
x (初項+末項)
既約分数でないものは
からnまでの整数に
なる.
項数n-(m-1)
S1 から S2 を引けば,
既約分数のみの和とな
る.
S=S-S2
