Question

おいも

Σを使った数列の和の範囲からです。

項が和の形で表されている時何からどう手をつけていいのか本当に1から分かっていない感じです。

特に、最初のこの形からΣの計算が開始できる形への導き方がよく分からないです。

なので、このような問題が出たとき今後まずどう考えればいいのかも含め分かりやすく教えていただけると幸いです。

よろしくお願いします！

*59 次の数列の第k項をkの式で表せ。 また,初項から第n項までの和 Sn を
求めよ。
(1) 1,1+3,1+3+9, 1 +3 +9 +27,
(2) 12,12+22, 12 +22+32, 12 +22+32 + 42,
p.155 総合問題 A-2

1)
aa
)+2
- 1)
+is
59 与えられた数列を {an} とする。
(1) 第k項は初項1,公比 3, 項数kの等比数列の
和である｡
140
ak=-
1-(3-1) 3-1
3-1
2
よって、求める和Sは
=
_ 3k-1 1
5.-2³¹-39-2¹)
(31)
_n} =
=
k=1
1 [3(3"-1)
23-1
k
(2) #kl£ _ak= Σ m² =
m=1
==
+8+8+1 (S)
Sn12)
=
1
= m² = /kk +1X2k+1)
よって、求める和 Server.12 (1) sa
n 1
Sn=Σk(k+1)+(s) as ==3(S)
1 n
-Σ(2k³ +3k² + k)
k=1
S=105+11 1
=
+
1.05(1.0
1 (1
49 x6 = 3 (2/2" (n+1)] ²
32
1 n
1 n
n
L = = = = 2 k²³ + ²/2 k² + 12 k
Ë
3
6
k=1
k=1
は
26
101 1
1 (0)
4
●
[ n(n+1)(2n+1)
+ • / n(n+1)
6
-(3n+¹-2n-3)
+8+1
k=1
+6+436=))
k=1
1
= 12 n(n+1)²(n+2)
したが=12m(n+1)(n(n+1)+(2n+1)+1)
1009011-)=-=
1
12 n
-n(n+1)(n²+3n+2)
TORE=
13-04

いろいろな数列 σ 項が和の形で表された数列

Answer 1

甘味

まず、自分がいつも答案を書くときの思考のプロセスを説明させて頂きます。とは言っても僕の思考プロセスが一般にやりやすいか、またはわかりやすいかは分からないので悪しからず。

まず、級数の形を見たら規則性をなんとかして見出します。ですが、数列の級数といったらある程度はパターンがあります。ある実数dずつ足されているか、またはある実数rだけかけられているか、などです。規則性を簡単に見つけるには、まず1項目と2項目を選び出し、その差を取ってみます。また次に2項目と3項目の差を取ってみて、その2つの差が同じであれば同じ数だけ足されている、つまり等差数列の和の形であると判断できます。
また、もし同じでなければ、2項目を1項目で割ってみます。そして3項目を2項目で割った値が2項目を1項目で割った値と一致すればそれは同じ値がかけられている、つまり等比数列の和の形だとわかります。

数列の最初に出来ておくとよい基本問題は大体この2パターンです。階差数列やフィボナッチ数列のような規則性がやや複雑なものは一旦保留にしときましょう^^;

公差、または公比がわかったら、級数のn項目を求めます。例えば初項がa₁で公差がdだとすると、n項目はaₙ=a₁+(n-1)dですよね。
つまり一般項を求めます。
次に、これを初項からn項目まで足した和を求めたいですが、ここで使うのがシグマです。∑[k=1→n]aₖとしてあげると、これは初項から第n項までを足し合わせてあげるという意味です。あとはシグマの値を求めてあげるだけです。