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なぜなのか。
例題
1233
反復試行の確率の最大値★★★
6問の3択問題がある。 各問とも適当に解答するとき, 何問正解する確率
が最も大きくなるか
未知のものを文字でおく
pn =
6問のうちぇ問正解する確率をn の式で表す。
|は式が複雑であるから, 関数とみて最大値を求めるのは難しい。
見方を変えるとn+1の関係を調べる。
(ア) <Dr+1のとき
nが大きくなると,も大きくなる)
(イ) >+1のとき
((日)
(nが大きくなると, pm は小さくなる)
pu+1-p>0←差で考える
pt1-p<0
Dn+1
> 1 ← 比で考える→
Dn+1
<1
pn
pn
の式の形から,差と比, どちらで考えるとよいか?
(1)
(
Action» n回起こる確率pnの最大は,+1と1の大小を比べよ
1
1つの問題で正解する確率は である。
3
Pn
よって、6問のうちη問(nは0≦x≦6の整数) 正解す
る確率は
C(+) (+)-n!(6-n)!
pn=6Cn
26-n
(36
n = 0, 1, 2, .･･, 5 において, n+1との比をとると
反復試行の確率
n!
ncy=
r!(n-r)!
である。
Pn+1
6!
25-n
6!
26-n
÷
pn
(n+1)!(5-n)! 36
n!(6-n)! 36
n!(6-n)! 25-n
6-n
=
.
(n+1)!(5-n)! 26-n
2(n+1)
(n+1)!= (n+1)xn!
(6-n)!=(6-n)x(5-n)!
いろいろな確率
Dn+1
6-n
326-25-2
≧1 のとき
≧ 1
pn
2(n+1)
4
6-n≧2(n+1) より
n≤
2(n+1)>0である。
3
Dn+1
よって, n=0,1のとき,
>1より <Putin=0のときかくか
pn
n=1のときか
(イ)
Dn+1
6-n
<1 のとき
< 1
Pn
2(n+1)
4
6-n<2(n+1) より
n>
3
Dn+1
よって, n=2,3,4,5 のとき,
E
<1より
n=2のとき D>ps
pn
n=3のとき > Da
n=4のとき DA>Do
Dn > Dn+1
(ア)(イ)より
<<p>3>pa>ps>Don=5のとき ps > Do
したがって, 2問正解となる確率が最も大きい。
233 1個のさいころを10回投げるとき 1の目が何回出る確率が最も大きくなるか。
p.446 問題233
425
