増減表がこのようになるのと、四角で囲まれた式が何をして出たのかわからないです。

条件を ■条件を よ。 久留 練習 3次方程式x+3ax+3ax+a=0が異なる3個の実数解をもつとき,定数aの値の範囲を求め ③ 219 よ。 f(x)=x3+3ax2+3ax + α とする。 121.0 x HINT 3 次方程式 f(x)=0 が異なる3個の実数解をもつから、3次関 f(x)=x+3ax2+3ax+a° 数f(x) は極値をもち, 極大値と極小値が異符号になる。 とする。 f'(x)=0 の解 は求めることができない から,f'(x)=0 の解を α, f'(x)=3x2+6ax+3a=3(x2+2ax+a) f(x) が極値をもつから, 2次方程式 /'(x)=0 は異なる2つの β(α<B) として, 解と係 実数解をもつ。 数の関係を利用。 ゆえに、x2+2ax+α=0の判別式をDとすると D>0 ここで D=a²-1•a= a(a−1) 4 よって, a(a-1) > 0から <a a<01 ① このとき, x2+2ax+a=0の2つの解をα, B (a <B) とすると, f(x) の増減表は次のようになる。 XC a ² f'(x) + 0 (x) 極大 ゆえに f(a) f(B) <0 ここで, 解と係数の関係により よって B 0 + 極小 a+β=-2a, aβ=a また,f'(a)=f'(B)=0 を利用するために、f(x) を 1/12f'(x)で 割ると,商はx+α, 余りは2a (1-a)x+α² (a-1) であるから f(x)=(x+a)(x²+2ax+a)+2a(1-a)x+a²(a-1) _=(x+a)(x²+2ax+a)+a(a-1)(a-2x) ...... ƒ(a)ƒ(B)= a(a−1)(a-2a)xa(a-1)(a-2B) FUG =a^(a-1)'{a²-2 (a+β)a+4aß} =a²(a-1)^{a²-2 (-2a)・a+4・a} 4 =a²(a-1)²xa(5a+4) ①のとき, a2(a-1) >0であるから、∫(a)(p)<0より 4 a(5a+4) <0 ゆえに <a<0...... 2 5 ①,②の共通範囲を求めて 5 -<a<0 極大値 + a y=f(x) | x 極小値 ←x=αで極大値f(α), x=βで極小値f(B) を とる。 f(B) の次数を f(au), 下げるため。4 (5) ←f'(a)=f'(B)=0 から a²+2aa+a=0, B2+2aß+a=0 ←a+β=-2a, aβ=a HE 6章 練習 [微分法] 2 =

解答の「(1)の結果を利用して」という部分、何を言っているかは理解出来たのですが、k=3とかを代入してみると二次方程式においてD>0を満たしませんよね？？ 自分はα,βの条件式を使わずに二次方程式のD>0のみでkの範囲を出してしまったのですが、そうするとkの値の範囲が、k<... 続きを読む

55 (1) 実数x,yが (x-3)2+(y-3)=8 を満たすとき, x+yとxyのとり うる値の範囲をそれぞれ求めよ。 bed (2) α, βは (α-3)^+ (B-3)^=8 かつ α<β を満たす実数とする。また,α, 5 Bは2次方程式 x2 -kx+ =0 の2つの解であるとする。 このとき, k, α, 2 CHAL β を求めよ。 [19 埼玉大〕

(2)の解説の(α-2)＋(β-2)＜0 と書いてあるのは何故ですか？ 二つの解がともににより小さいならばそのふたつの解が0と1また重解もありうるので1と1また0と0の場合があり、(α-2)＋(β-2)を場合分けするべきなのではないでしょうか。教えてください🙏

練習 ③50 2次方程式x2-2(a-4)x+2a=0が次の条件を満たす解をもつように、 定数 α の 値の範囲を定めよ。 (1) 2つの解がともに2より大きい。 (2) 2つの解がともに2より小さい。 (3) 1つの解が4より大きく、他の解は4より小さい。 (p.85 EX34

xについての二次方程式を解いたあとからの解説がよく分からないので教えてほしいです！

重要 例題 45 因数分解ができるための条件 00000 x2+3xy+2y²2-3x-5y+kがx,yの1次式の積に因数分解できるとき,定数k の値を求めよ。 また, その場合に,この式を因数分解せよ。 [東京薬大] 基本44 指針与式がx,yの1次式の積の形に因数分解できるということは, (5)=(ax+by+c) (px+qy+r) }(0-1)(-x)(0-5) の形に表されるということである。 恒等式の性質を利用(検討参照)してもよいが,ここで は、与式をxの2次式とみたとき, =0とおいたxの2次方程式の解がyの1次式で なければならないと考えて, kの値を求めてみよう。 ポイントは,解がyの1次式であれば、 解の公式における 方式 [(整式)の形の整式] となることである。 解答 P=x2+3xy+2y2-3x-5y+kとすると P=x2+3(y-1)x+2y2-5y+k P=0をxについての2次方程式と考えると, 解の公式から _ −3(y−1)± √√9(y—−1)²—4(2y²—5y+k)____ x= 2 ___ -3(y-1)±√y²+2y+9-4k 2 Pがx,yの1次式の積に因数分解できるためには,この解がy の1次式で表されなければならない。 このとき すなわち よって よって,根号内の式y'+2y+9-4kは完全平方式でなければな らないから, y2+2y+9-4k=0の判別式をDとすると D k=2 1=12-(9-4k)=4k-80 ゆえに 4 -3(y-1)±√(y+1)^_-3y+3±(y+1) x=- 2 x=-y+2, -2y+1 P={x-(-y+2)}{x-(-2y+1)} =(x+y-2)(x+2y-1) 2 内がyについての完全平 x²の係数が1であるから, xについて整理した方がら くである。 この2つの解をα, βとす ると, 複素数の範囲で考え てP=(x-α)(x-β) と因数分解される。 <完全平方式 ⇔=0が重解をもつ 判別式D=01 (y+1)^2=y+1である が,± がついているから, y+1の符号で分ける必要 はない。 77 と、(与式)=(x+y+a)(x+2y+b) ① は、xとyの恒等式であり,右辺を展開して整理すると (与式)=x²+3xy+2y^+(a+b)x+(2a+b)y+αb となるから,両辺の係数を比較して a+b=-3, 2a+b=-5,ab=k これから,kの値が求められる。 (1) 2章 検討 恒等式の性質の利用 x2+3xy+2y²=(x+y)(x+2y) であるから、与式がx,yの1次式の積に因数分解できるとする ① と表される。 (2) 2x²-xy-3y2+5x-5y+k 9 解と係数の関係、 解の存在範囲 180 練習 次の2次式がx,yの1次式の積に因数分解できるように、 定数kの値を定めよ。 の 945 また,その場合に、この式を因数分解せよ。 (1) r²+ry-6y²-x+7y+k (3

(3)において④よりなぜ、(1)には無かった0以上という条件が加わるのでしょうか、教えてください🙏

198 2点で交わるときの値の範囲を求めよ で求めたくとき、その交点を分の中点の座 いてませ。 it 軌跡(8) 分の中 (3) 中点 ① x-y+24=0.②について を求めよ。 が異なる点で交わる Comous DD>0 に考えると･･ 2次方程式(中)から2点の標を実際に求めて考える。 求めるものい 2次方程式(*)の2解.8とする BERBORK D>0 より do 1/③であるから (2) αが(1)で求めた範囲を動くと 円 ①と直線②の2交点の 標はxの2次方程式 ③ の 2つの実数解である。 これらをα, βとすると解と 係数の関係より ⇒中店の 《Action 分の中点の軌跡は, 解と係数の関係を利用せよ ITE) (1) ①②よりを消去して整理すると (1 + a²)x²+4a³x+4a²-1=0 Q.② は異なる2点で変わるから, ③ の判別式をDと するとD =(2a)²-(1 + a²) (4a²-1) = -3a²+1 -3a²+1>0 3 <a< (X,Y)- 計算が雑 √3 -1 34 (2 @ 2-10 β1 x 40² a+B=-1 + a² よって①と直線②の2交点の中点の座標を(X,Y) とすると 4① の中心と②日 距離をd円 ① るが、 で交点の座標を考える ら③を考える。 Play Back 8 参照 3 <0 +√3)(²-3)< (a+ より +73 に注意する。 a<+- | 2次方程式 x²+bx+c=0の2つ の解をa, βとすると a+B=-- aß としないよう C a (X1) ② X-Ya-015 したがって ゆえに、 求める3点の中のは (1+³)x=-2 (X+2)²--x X-2 とすると、左辺) 6, 2 となり不 よって、 X-2 であるから ⑥両辺を2乗すると を代入すると y = ²X +2 Y₁X _X+2(x+29 X²+2X+Y-B y=-X(X+2) より よって (X+12+Y2=1 ... ここで、⑤より X-21 ④ より 1/3であるから - 1<x50-sitect in ⑧ ⑨ より 求める中点の 軌跡は -x+2) => 1 円 (x+1)+y^2=1の <xs0 の部分 Point 弦 (線分) の中点の軌跡を求める手順 ① 2つのグラフの式を連立して、 2次方程式をつくる。 ② 共有点のx座標α B① の方程式の解 I 中点をとる 中点のy座標を X で表す。 X, Y以外の文字を消去 ④α, B が異なる2つの実数解であることから, Xの変域を求める。 解と係数の関係の利用 1114 xy平面上に, 円 C: (x-1)^2+(y+2) = 25 および直線l:y= り、 異なる2点で交わっている。 (1) の値の範囲を求めよ。 (2) C がしから切り取る弦ABの中点Mの座標をんで表せ。 (3) kの値が変化するとき, Mの軌跡を求めよ。

この問題での式ってそれぞれxについての恒等式という事はできます…よね？ そう考えてmの値を求めると答えが違ってくるんですけどどうしてでしょうか どなたか教えて貰えると幸いです🙇‍♀️🙇‍♀️

103 次の各場合について、定数mの値と2つの解を求めよ。 (1) 2次方程式x2+6x+m=0 の1つの解が他の解の2倍である。 ② 2次方程式x2-(m-1)x+m=0 の2つの解の比が2:3 である。 * *③ 2次方程式x22mx+m²+2m+3=0 の2つの解の差が2である。

この問題の3番の解き方が分からないです。 解と係数の関係とかをつかうのでしょうか、、、？

【練習1】 w はω31 をみたす虚数とする。 = (1) ω² +ω+1=0を示せ。 (2) (3) (4) w, w2 であることを示せ｡ 1の3乗根が1, ww2 を示せ。 1 - wa+bw(a,b は実数) の形で表せ。 3+2w

一体どういうことなのか教えて頂けませんか、、🙇🏻‍♀️ このα<2、β<2はどこからきているんですか？？ あと写真の下にある考え方の部分でtとなっているのは何を示してるのですか？

例題 41 2次方程式の解の配置と解と係数の関係 2次方程式x2kx-k+2=0が, 次の条件を満たすような定数kの値の範囲を 求めよ。 (3) 2解がともに2より小さい (1) 2解がともに正 (2) 2解が異符号 (1) 判別式を D,2解を α,βとすると,2解がともに正であるためには D≥0, a+B>0, aß>0 であればよい。 D=k² − (−k+2) =k²+k−2 =(k+2)(k-1)≧0より k≦-2, 1≦k 解と係数の関係から (a−2) + (B-2)<0 (a-2)(8-2) >0 ④ より α+β<4 ◆異なる2解”とかかれていないときは, 重解の場合も含む。 a+B=2k>0 k>0 ... ② aβ=-k+2>0 k<2 ...(3) よって, ①, ②, ③ の共通範囲を求めて 1≦k<2 (2) 2解が異符号であるためには αβ=-k+2<0 したがって k>2 ? どこからきた (3) α<2,B<2^だから α-2<0, B-2<0 したがって,次の ①, ④, ⑤ を満たせばよい。 MADZO 0-10 2k<4 ゆえに k<2 ⑤ より αβ-2 (a+β) +4>0 -k+2-2.2k+4>0 ④ xtpso ?= 5 × ² > · J-) (I- & △ ①, ④, ⑤'の共通範囲を求めて 6 k-2,1≦k< -5k>-6 ゆえに k</1/…..⑤ 《2次方程式の実数解の符号》 ax2+bx+c=0(a≠0) の判別式をD,2解をα,βとすると 2解がともに正 ⇒D≥0, a+B>0, aß>0 2解がともに負 ⇔D≧0, a+ B <0, αB>0/ ・2解が異符号 ⇔ αB <0 ･･･④ート 12V± 3 -2 20 D≧0 は必要ない。 ◆α, βが2より小さいとい う関係式を使って ③ ④ を表すことが大切。 (負)+ (負)<0 (負)×(負)>0 065 1 62 k 2次方程式の解の正, 負や大、小を決定する問題は、 数Ⅰでは2次関数のグラフを利用した。 この解答のように, 解と係数の関係を使う場合は判別式D と, 解 α, βの和と積を考えるが 大きいときはα-t> 0, β-t>0 α, βがt より → として考える

数2です。 係数が虚数の二次方程式の問題です。解と係数との関係を使って解きたいのですが、上手く出来ませんでした… どこが間違っているのか教えて欲しいです！

例題 30 係数に虚数を含む2次方程式の実数解 kを実数とする。xの2次方程式 (1+i)x+(k + 3i)x +6 +2ki = 0 が実 数解をもつときkの値、およびこの方程式の解を求めよ。 思考プロセ 係数に虚数を含む2次方程式では,「実数解をもつ⇔D≧0」としてはいけない。 例 2次方程式xix=0 は、x(x-i) = 0 より x = 0, i ← 実数解をもつ ところが D = (− i)² = −1 <0

（3）で、解と係数との関係より、α×α²=−2pまではだせたんでふが、その先の「すなわち」からなぜそうなるのかがわかりません。

#4432! A B 6 GO 口 完答への 道のり よって、方程式①の左辺を因数分解すると (x-1)(x-2x-2p) (2)別) (1)より -2px+2p -2px+2p. A 整式の割り算をして商を求めることができた。 ・ 整式の因数分解ができた。 x²-3x²+2(1-p)x+2p=x²-3x²+2x-2p(x-1) = x(x-1)(x-2)-2p(x-1) =(x-1)(x(x-2)-2p) =(x-1) (x²-2x-2p) (-2)-4-1-(-2p) ≥ 0 [a+a²=2 0 (3) 方程式①の解がすべて実数であるとき (2) より 2次方程式 x-2x2p=0 は実数解をもつ。したがって, 方程式②の判別式をDとすると, D≧0と なるので aa²=-2p すなわち 4+800 p2-/1/20 x=1以外の2つの解のうち一方が他方の平方となるとき, 方程式 ② の異な る 2解はαα² とおけるから, 解と係数の関係により [(a+2)(a-1)=0 | ₁ = - 2²³ (x-1)(x-2x-2p) 11 = / 2 (x-1)(x²-2x-2p) ③より α = -2,-1 α=1のとき,α=1 となり; 方程式 ① は3重解をもつから不適。 α=-2のとき, α = 4 となり, 方程式 ① は異なる3つの実数解をもつ。 よって, α=-2 また α=-2 を①に代入して p=4 23 B -- - 41 - 最低次数の文字で整理して因数 分解する解法である。 2次方程式 ax+bx+c=0…. A の判別式をDとすると 8 (1) 2-1, p=d 方程式が実数解をもつ IDNO ただし,D=62-4ac で, b=26′ = のときは 1/14-62-ac を用いても よい。 <解と係数の関係 2次方程式 ax2+bx+c=0 の つの解をα, βとすると a+B=- =-b aβ= a' ²