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基本例題 113 絶対不等式
(1) すべての実数xに対して, 2次不等式x+(k+3)x-k> 0 が成り立つような
定数kの値の範囲を求めよ。
(2) 任意の実数xに対して,不等式 ax^²-2√3x+a+2≦0 が成り立つような定
数αの値の範囲を求めよ。
p.171 基本事項 ⑥ 「演習129
指針 2次式の定符号 2次式 ax2+bx+cについて D=62-4ac とする｡ ·········!｣
常に ax2+bx+c>0⇔a> 0, D < 0
常に ax'+bx+c<0⇔a<0, D<0
(1) x²の係数は 1 (正) であるから, D<0が条件。
常に ax2+bx+c≧0⇔a> 0, D≦0
常に
ax²+bx+c≦0⇔a<0, D≦0
(2) 単に「不等式」 とあるから, α=0 (2次不等式で
ない)の場合とa≠0)の場合に分ける。
[補足 ax²+bx+c>0 に対して, a=0 の場合も含め
ると,次のようになる。
解答
(1) x²の係数が1で正であるから 常に不等式が成り立
つための必要十分条件は、 2次方程式
x2+(k+3)x-k=0 の判別式をDとすると D<0
D=(k+3)^-4・1・(-k) =k²+10k+9= (k+9)(k+1)
であるから, D<0より (k+9)(+1) < 0
ゆえに -9<k<-1
+
常に ax+bx+c>0⇔a=b=0, c>0; または α > 0, D < 0
+
[a>0, D<0]
a=0のとき, 2次方程式 ax²-2√3x+α+2=0の判別
式をDとすると,常に不等式が成り立つための必要十
分条件は a<0 かつ D≦0 (*)
2=(-√3)a(a+2)=-a²-2a+3=-(a+3)(a-1)
であるから, D≦0 より
よって
an-3, 1≦a
「すべての実数x」または「任意の実
数x」 に対して不等式が成り立つと
は, その不等式の解が, すべての
数であるということ｡
(1) の D<0 は, 下に凸の放物線が常
にx軸より上側にある条件と同じ。
(2) a=0のとき, 不等式は-2√3x+2≦0 となり、 例え (*) グラフがx軸に接する, また
ばx=0のとき成り立たない。
はx軸より下側にある条件と同じ
であるから, D< 0 ではなく D≦0と
する｡
(a+3)(a-1)≧0
a<0 との共通範囲を求めて
すべての実数について、 2次不等式 ax+bx+c>0) が成り立つ
⇔2次関数y=ax²+bx+cのグラフが常にx軸より上側にある
a> (下に凸) かつ D=6-4ac < 0 (x軸との共有点がない)
nor
[a < 0, D<0]
a≤-3
Ne
+
[a> 0, D<0]
