基本 例題57
高次式の値
x=1+V2iのとき,次の式の値を求めよ。
家さ余
余tcp(x)=x4-4x3+2x2+6x-7 1
基本8
指針> x=1+V2iをそのまま代入すると, 計算が大変である。このようなタイプの問題では, 計
算が複雑になる要因を解消する手段(次の手順(1, 2)を考える。+
[D 根号と虚数単位iをなくす]
x=1+V2iから
この両辺を2乗すると
[2 求める式の次数を下げる)
(x-1)=-2 を整理すると
x-1=2i
(x-1)°=-2 根号とiが消える
2.
ーまあ(x)4先 T8
11
ーェ(x)生,)
し 次数を下
x?-2x+3=0
P(x)すなわちx*-4x°+2x?+6x-7をx°-2.x+3 で割ったときの商
いい
Q(x), 余り R(x) を求めると,次の等式(恒等式)が導かれる。
P(x)=(x°-2x+3)Q(x)+R(x)
L1次以下
Lx=1+/2iのとき, 30
さでOx=1+V2iを代入すると, 右辺は 0·Q(1+/2)+R(1+/2i) となり,1+xス 880
大爆
1次式の値を求めることになる。
CHART高次式の値 次数を下げる
メ(x) eE
解答
(x-1)°=-2
両辺を2乗して
の
x=1+/2iから
整理すると
P(x)をx°-2x+3 で割ると,右のようになり
x-1=/2i
x=1+/2iは①の解。
x2-2x+3=0…
1
-2
-5
1 -2 3)1
-4 2
6-7
余下さる1-2
-2 -1
3
商x-2x-5, 余り 2x+8
る
6
である。よって
P(x)=(x?-2x+3)(x^-2x-5)+2x+8
x=1+/2iのとき, ① から
P(1+/2i)=0+2(1+V2)+8=10+2/2i
-2
4
-6
を求める
検討参照。
-5
12 -7
-5
10 -15
2
8
禁自の Sお
無NS んH UMIUUNT
