例題 50
指針
[解答]
直円柱形の物体の底面の半径が毎秒1cm の割合で増加し, 高
さが毎秒5cm の割合で増加している。 この物体の底面の半径
が1m 高さが2mになった瞬間における体積の変化の割合
を求めよ。
体積を時刻tの関数で表し, その導関数, 微分係数を考える。
変化率
時刻t における直円柱形の底面の半径をrcm,高さをhcm, 体積を Vcm²
とすると
V=πr²h
(12)
また, htの関数であるから,Vもtの関数である。
in th
V=πr2h の両辺をtで微分すると
dl
条件より,
· V = Tir²h
dV
dt
よって, 求める変化の割合は 90000cm²/s
pp88例題50) dr=1, dh-5.
dvdv
=
dV
dr = x(2r. dr.h+r³².dh) () - s
dt
dt
dt
dr
dh
a=1, -=5であるから,r=100, h=200 のとき
dt
dt
=(2・100・1・200+100²5)=90000
ar
X
dh=5,r=1,h=2のときのdv?
(0)
de o
よって条件より、
20000円
dℓ (cm) dl (cm)
dr=(2terh)×(1)=2irh
de
