33
分数型の漸化式 (1)
1
-=3n-1
基本 29.30
a=1,
an+1 an
次の条件によって定められる数列{an} の一般項を求めよ。
ののののの
401
(2) α1=
1
4, an+1
an
3an+1
CHART & SOLUTION
数型の漸化式 逆数を利用
畍介
基本 29
1章
易
4
ート
消
化式の両辺の逆数をとると,
1
an+1
an
1
と と定数項からなる式となる。
その式において,b,comm
1
とおくと既知の数列の漸化式となる。
漸化式
針。
ban+g型になる。
1
とおくと
an
(1) b=-
n≧2 のとき
bn+sbn=3n-1
n-1
bn b₁+3-1
← 数列 {6} の階差数列の
一般項が 3-1
artz
Jant
∙ants
{lr
Im
-1 を解くと
k=1
=1=1から
bn=1+
gn-1-1
3-1
3-1+1
2
a
とおくと
したがって an=
2
3-1+1
n=4.2"-1.3
(2) a1= 1/10,および漸化式の形から、すべての自然数n
=3.2+1
計。
ーなる。
列を {C}
よって
五十」
an+1
する
b=-
とおくと
an
15
b1=4 であるから
b=4+(n-1)・3=3n+1
したがって an=
1
3n+1
An+1
1
-=3+- れる
an
bn+1=bn+3
1
an
れらの
1
=1であるから,この式はn=1のときにも成り立つ。
に対して an≠0 となる。
漸化式の両辺の逆数をとると
n=1 とすると 30+1=1
an= br
α 0 なので a2= 0,
α20 ならば α≠0
以下同様に考えて
α 0 であることがい
える。
0
2の
1
初項 b1= -=4,公差3
ar
の等差数列。
続ける
PRACTICE 33Ⓡ
次の条件によって定められる数列{an}の一般項を求めよ。
(1) = 1,
1
1
-=3n-2
an+1
an
600
an
aan+1=
2
4an+5
(E)
